Электричество и магнетизм

Электричество и магнетизм Анемометр

20. Электромагнитная индукция. Правило Ленца

Явление электромагнитной индукции было открыто выдающимся английским физиком М. Фарадеем в 1831 г. Оно заключается в возникновении электрического тока в замкнутом проводящем контуре при изменении во времени магнитного потока, пронизывающего контур.

Магнитным потоком Φ через площадь S контура называют величину

где
B
– модуль

, α – угол между вектором
Электричество и магнетизмЭлектричество и магнетизм

Определение магнитного потока нетрудно обобщить на случай неоднородного магнитного поля и неплоского контура. Единица магнитного потока в системе СИ называется вебером (Вб). Магнитный поток, равный 1 Вб, создается магнитным полем с индукцией 1 Тл, пронизывающим по направлению нормали плоский контур площадью 1 м2:

Фарадей экспериментально установил, что при изменении магнитного потока в проводящем контуре возникает ЭДС индукции Edsинд, равная скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром, взятой со знаком минус:

Эта формула носит название закона Фарадея.

Опыт показывает, что индукционный ток, возбуждаемый в замкнутом контуре при изменении магнитного потока, всегда направлен так, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызывающего индукционный ток. Это утверждение, сформулированное в 1833 г., называется правилом Ленца.

Рис. 1.20.2 иллюстрирует правило Ленца на примере неподвижного проводящего контура, который находится в однородном магнитном поле, модуль индукции которого увеличивается во времени.

Правило Ленца отражает тот экспериментальный факт, что Edsинд и Электричество и магнетизм

Изменение магнитного потока, пронизывающего замкнутый контур, может происходить по двум причинам.

1. Магнитный поток изменяется вследствие перемещения контура или его частей в постоянном во времени магнитном поле. Это случай, когда проводники, а вместе с ними и свободные носители заряда, движутся в магнитном поле. Возникновение ЭДС индукции объясняется действием силы Лоренца на свободные заряды в движущихся проводниках. Сила Лоренца играет в этом случае роль сторонней силы.

Рассмотрим в качестве примера возникновение ЭДС индукции в прямоугольном контуре, помещенном в однородное магнитное поле Электричество и магнетизмl скользит со скоростью
Электричество и магнетизмпереносной скоростью Электричество и магнетизм

Работа силы FЛ на пути l равна

По определению ЭДС

В других неподвижных частях контура сторонняя сила равна нулю. Соотношению для Edsинд можно придать привычный вид. За время Δt площадь контура изменяется на ΔS = lυΔt. Изменение магнитного потока за это время равно ΔΦ = BlυΔt. Следовательно,

Для того, чтобы установить знак в формуле, связывающей Edsинд и Электричество и магнетизмЭлектричество и магнетизмЭлектричество и магнетизмR, то по ней будет протекать индукционный ток, равный Iинд = Edsинд/R. За время Δt на сопротивлении R выделится джоулево тепло
Возникает вопрос: откуда берется эта энергия, ведь сила Лоренца работы не совершает! Этот парадокс возник потому, что мы учли работу только одной составляющей силы Лоренца. При протекании индукционного тока по проводнику, находящемуся в магнитном поле, на свободные заряды действует еще одна составляющая силы Лоренца, связанная с относительной скоростью движения зарядов вдоль проводника. Эта составляющая ответственна за появление силы Ампера Электричество и магнетизмFA = I B l. Сила Ампера направлена навстречу движению проводника; поэтому она совершает отрицательную механическую работу. За время Δt эта работа Aмех равна

Движущийся в магнитном поле проводник, по которому протекает индукционный ток, испытывает магнитное торможение. Полная работа силы Лоренца равна нулю. Джоулево тепло в контуре выделяется либо за счет работы внешней силы, которая поддерживает скорость проводника неизменной, либо за счет уменьшения кинетической энергии проводника.

2. Вторая причина изменения магнитного потока, пронизывающего контур, – изменение во времени магнитного поля при неподвижном контуре. В этом случае возникновение ЭДС индукции уже нельзя объяснить действием силы Лоренца. Электроны в неподвижном проводнике могут приводиться в движение только электрическим полем.

Это электрическое поле порождается изменяющимся во времени магнитным полем. Работа этого поля при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому контуру равна ЭДС индукции в неподвижном проводнике. Следовательно, электрическое поле, порожденное изменяющимся магнитным полем, не является потенциальным.

Явление электромагнитной индукции в неподвижных проводниках, возникающее при изменении окружающего магнитного поля, также описывается формулой Фарадея. Таким образом, явления индукции в движущихся и неподвижных проводниках протекают одинаково, но физическая причина возникновения индукционного тока оказывается в этих двух случаях различной: в случае движущихся проводников ЭДС индукции обусловлена силой Лоренца; в случае неподвижных проводников ЭДС индукции является следствием действия на свободные заряды вихревого электрического поля, возникающего при изменении магнитного поля.

Включить/Выключить фоновую музыку

Магнитный поток. теорема гаусса для магнитного поля — мегаобучалка

агни́тный пото́к —физическая величина, равная плотности потока силовых линий, проходящих через бесконечно малую площадку dS. поток Электричество и магнетизм как интеграл вектора магнитной индукции Электричество и магнетизм через конечную поверхность Электричество и магнетизм . Определяется через интеграл по поверхности

Электричество и магнетизм

при этом векторный элемент площади поверхности определяется как

Электричество и магнетизм

где Электричество и магнетизм — единичный вектор, нормальный к поверхности.

Также магнитный поток можно рассчитать как скалярное произведение вектора магнитной индукции на вектор площади:

Электричество и магнетизм

где α — угол между вектором магнитной индукции и нормалью к плоскости площади.

Магнитный поток через контур также можно выразить через циркуляцию векторного потенциала магнитного поля по этому контуру:

Электричество и магнетизм

Подобно тому, как было введено понятие потока вектора напряженности электрического поля, введем понятие потока вектора магнитной индукции, или магнитного потока. Элементарный магнитный поток Электричество и магнетизм через малую элементарную площадку Электричество и магнетизм , которую можно считать плоской, и в окрестности которой магнитное поле можно считать однородным, равен произведению вектора индукции на площадь выделенного элемента поверхности и косинус угла между вектором индукции и нормалью к поверхности:

Электричество и магнетизм .

Поток может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от направления нормали к поверхности.

За единицу магнитного потока в системе единиц СИ принят вебер (Вб). 1 Вб – это магнитный поток через поверхность площадью Электричество и магнетизм , расположенную в однородном магнитном поле перпендикулярно вектору индукции Электричество и магнетизм , равному по модулю Электричество и магнетизм :

Электричество и магнетизм .

В случае неоднородного магнитного поля поток через какую-либо поверхность равен алгебраической сумме потоков через участки поверхности, вблизи которых поле можно считать однородным.

Магнитный поток, как и поток вектора напряженности электрического поля, можно считать равным числу магнитных силовых линий, пересекающих рассматриваемую поверхность. Магнитное поле является вихревым, то есть его линии магнитной индукции замкнуты. Поэтому замкнутая поверхность, помещенная в магнитное поле, пронизывается линиями магнитной индукции так, что любая линия, входящая в эту поверхность, выходит из нее. Следовательно, полный магнитный поток через произвольную замкнутую поверхность равен нулю. Это утверждение носит название теоремы Гаусса для магнитных полей. Равенство нулю магнитного потока через замкнутую поверхность является следствием того, что в природе нет магнитных зарядов, и магнитные поля образуются только электрическими зарядами.

§

В 1831 году английский ученый физик в своих опытах М.Фарадей открыл явлениеэлектромагнитной индукции. Затем изучением этого явления занимались русские ученый Э.Х. Ленц и Б.С.Якоби.

В настоящее время, в основе многих устройств лежит явление электромагнитной индукции, например в двигателе или генераторе электрического тока тока, в трансформаторах, радиоприемниках, и многих других устройствах.

Электромагнитная индукцияэто явление возникновения тока в замкнутом проводнике, при прохождении через него магнитного потока. То есть, благодаря этому явлению мы можем преобразовывать механическую энергию в электрическую – и это замечательно. Ведь до открытия этого явления люди не знали о методах получения электрического тока, кроме гальваники.

Когда проводник оказывается под действием магнитного поля, в нем возникает ЭДС, которую количественно можно выразить через закон электромагнитной индукции.

Закон электромагнитной индукции

Электродвижущая сила, индуцируемая в проводящем контуре, равна скорости изменения магнитного потока, сцепляющегося с этим контуром.

Электричество и магнетизм

В катушке, которая имеет несколько витков, общая ЭДС зависит от количества витков n:

Электричество и магнетизм

Но в общем случае, применяют формулу ЭДС с общим потокосцеплением:

Электричество и магнетизм

ЭДС возбуждаемая в контуре, создает ток. Наиболее простым примером появления тока в проводнике является катушка, через которую проходитпостоянный магнит. Направление индуцируемого тока можно определить с помощью правила Ленца.

Электричество и магнетизм

Правило Ленца

Ток, индуцируемый при изменении магнитного поля проходящего через контур, своим магнитным полем препятствует этому изменению.

Электричество и магнетизм

В том случае, когда мы вводим магнит в катушку, магнитный поток в контуре увеличивается, а значит магнитное поле, создаваемое индуцируемым током, по правилу Ленца, направлено против увеличения поля магнита. Чтобы определить направление тока, нужно посмотреть на магнит со стороны северного полюса. С этой позиции мы будем вкручивать буравчик по направлению магнитного поля тока, то есть навстречу северному полюсу. Ток будет двигаться по направлению вращения буравчика, то есть по часовой стрелке.

В том случае, когда мы выводим магнит из катушки, магнитный поток в контуре уменьшается, а значит магнитное поле, создаваемое индуцируемым током, направлено против уменьшения поля магнита. Чтобы определить направление тока, нужно выкручивать буравчик, направление вращения буравчика укажет направление тока в проводнике – против часовой стрелки.

§

о сих пор мы рассматривали изменяющиеся магнитные поля, не обращая внимание на то, что является их источником. На практике чаще всего магнитные поля создаются с помощью различного рода соленоидов, т.е. многовитковых контуров с током.

Здесь возможны два случая: при изменении тока в контуре изменяется магнитный поток, пронизывающий: а) этот же контур; б) соседний контур.

ЭДС индукции, возникающая в самом же контуре, называется ЭДС самоиндукции, а само явление – самоиндукция.

Если же ЭДС индукции возникает в соседнем контуре, то говорят о явлении взаимной индукции.

Ясно, что природа явления одна и та же, а разные названия использованы для того, чтобы подчеркнуть место возникновения ЭДС индукции.

о сих пор мы рассматривали изменяющиеся магнитные поля, не обращая внимание на то, что является их источником. На практике чаще всего магнитные поля создаются с помощью различного рода соленоидов, т.е. многовитковых контуров с током.

Здесь возможны два случая: при изменении тока в контуре изменяется магнитный поток, пронизывающий: а) этот же контур; б) соседний контур.

ЭДС индукции, возникающая в самом же контуре, называется ЭДС самоиндукции, а само явление – самоиндукция.

Если же ЭДС индукции возникает в соседнем контуре, то говорят о явлении взаимной индукции.

Ясно, что природа явления одна и та же, а разные названия использованы для того, чтобы подчеркнуть место возникновения ЭДС индукции.

Эл.ток создает собственное магнитное поле . Магнитный поток через контур пропорционален индукции магнитного поля (Ф ~ B), индукция пропорциональна силе тока в проводнике
(B ~ I), следовательно магнитный поток пропорционален силе тока (Ф ~ I).
ЭДС самоиндукции зависит от скорости изменения силы тока в эл.цепи, от свойств проводника
(размеров и формы) и от относительной магнитной проницаемости среды, в которой находится проводник.
Физическая величина, показывающая зависимость ЭДС самоиндукции от размеров и формы проводника и от среды, в которой находится проводник, называется коэффициентом самоиндукции или индуктивностью.

Электричество и магнетизм

Индуктивность – физ. величина, численно равная ЭДС самоиндукции, возникающей в контуре при изменении силы тока на 1Ампер за 1 секунду.
Также индуктивность можно рассчитать по формуле:

Электричество и магнетизм

где Ф – магнитный поток через контур, I – сила тока в контуре.

Единицы измерения индуктивности в системе СИ:

Электричество и магнетизм

Индуктивность катушки зависит от:
числа витков, размеров и формы катушки и от относительной магнитной проницаемости среды
( возможен сердечник).

§

К ферромагнетикам (ferrum – железо) относятся вещества, магнитная восприимчивость которых положительна и достигает значений Электричество и магнетизм . Намагниченность Электричество и магнетизм и магнитная индукция Электричество и магнетизм ферромагнетиков растут с увеличением напряженности магнитного поля Электричество и магнетизм нелинейно, и в полях Электричество и магнетизм намагниченность ферромагнетиков достигает предельного значения Электричество и магнетизм , а вектор магнитной индукции растет линейно с Электричество и магнетизм : Электричество и магнетизм

Ферромагнитные свойства материалов проявляются только у веществ в твердом состоянии, атомы которых обладают постоянным спиновым, или орбитальным, магнитным моментом, в частности у атомов с недостроенными внутренними электронными оболочками. Типичными ферромагнетиками являются переходные металлы. В ферромагнетиках происходит резкое усиление внешних магнитных полей. Причем для ферромагнетиков Электричество и магнетизм сложным образом зависит от величины магнитного поля. Типичными ферромагнетиками являются Fe, Co, Ni, Gd, Tb, Dy, Ho, Er, Tm,а также соединения ферромагнитных материалов с неферромагнитными: Электричество и магнетизм , Электричество и магнетизм , Электричество и магнетизм и др.

Существенным отличием ферромагнетиков от диа- и парамагнетиков является наличие у ферромагнетиков самопроизвольной (спонтанной) намагниченности в отсутствие внешнего магнитного поля. Наличие у ферромагнетиков самопроизвольного магнитного момента Электричество и магнетизм в отсутствие внешнего магнитного поля означает, что электронные спины и магнитные моменты атомных носителей магнетизма ориентированы в веществе упорядоченным образом.

Ферромагнетики – это вещества, обладающие самопроизвольной намагниченностью, которая сильно изменяется под влиянием внешних воздействий – магнитного поля, деформации, температуры.

Ферромагнетики, в отличие от слабо магнитных диа- и парамагнетиков, являются сильно магнитными веществами: внутреннее магнитное поле в них может в сотни раз превосходить внешнее поле.

Основные отличия магнитных свойств ферромагнетиков.

1. Нелинейная зависимость намагниченности от напряженности магнитного поля Н (рис. 6.5).

Как видно из рис. 6.5, при Электричество и магнетизм наблюдается магнитное насыщение.

2. При Электричество и магнетизм зависимость магнитной индукции В от Н нелинейная, а при Электричество и магнетизм – линейная (рис. 6.6).

Электричество и магнетизмЭлектричество и магнетизм

Рис. 6.5 Рис. 6.6

3. Зависимость относительной магнитной проницаемости от Н имеет сложный характер (рис. 6.7), причем максимальные значения μ очень велики ( Электричество и магнетизм ).

Электричество и магнетизмЭлектричество и магнетизм

Рис. 6.7 Рис. 6.8

Впервые систематические исследования μ от Н были проведены в 1872 г. А.Г. Столетовым (1839–1896) – выдающимся русским физиком, организатором физической лаборатории в Московском университете. На рис. 6.8. изображена зависимость магнитной проницаемости некоторых ферромагнетиков от напряженности магнитного поля – кривая Столетова.

4. У каждого ферромагнетика имеется такая температура, называемая точкой Кюри( Электричество и магнетизм ),выше которой это вещество теряет свои особые магнитные свойства.

Наличие температуры Кюри связано с разрушением при Электричество и магнетизм упорядоченного состояния в магнитной подсистеме кристалла – параллельной ориентации магнитных моментов. Для никеля температура Кюри равна 360 °С. Если подвесить образец никеля вблизи пламени горелки так, чтобы он находился в поле сильного постоянного магнита, то не нагретый образец может располагаться горизонтально, сильно притягиваясь к магниту (рис. 6.9). По мере нагрева образца и достижения температуры Электричество и магнетизм ферромагнитные свойства у никеля исчезают и образец никеля падает. Остыв до температуры ниже точки Кюри, образец вновь притянется к магниту. Нагревшись, вновь падает и т.д., колебания будут продолжаться все время, пока горит свеча.

Электричество и магнетизм

Рис. 6.9

5. Существование магнитного гистерезиса.

На рисунке 6.10 показана петля гистерезиса – график зависимости намагниченности вещества от напряженности магнитного поля Н.

Электричество и магнетизм

Рис. 6.10

Намагниченность Электричество и магнетизм при Электричество и магнетизм называется намагниченностью насыщения.

Намагниченность Электричество и магнетизм при Электричество и магнетизм называется остаточной намагниченностью (что необходимо для создания постоянных магнитов).

Напряженность Электричество и магнетизм магнитного поля, полностью размагниченного ферромагнетика, называетсякоэрцитивной силой. Она характеризует способность ферромагнетика сохранять намагниченное состояние.

Большой коэрцитивной силой (широкой петлей гистерезиса) обладают магнитотвердые материалы. Малую коэрцитивную силу имеют магнитомягкие материалы.

Измерение гиромагнитного отношения для ферромагнетиков показали, что элементарными носителями магнетизма в них являются спиновые магнитные моменты электронов.

Самопроизвольно, при Электричество и магнетизм , намагничиваются лишь очень маленькие монокристаллы ферромагнитных материалов, например никеля или железа. Для того чтобы постоянным магнитом стал большой кусок железа, необходимо его намагнитить, т.е. поместить в сильное магнитное поле, а затем это поле убрать. Оказывается, что при Электричество и магнетизм большой исходный кусок железа разбит на множество очень маленьких ( Электричество и магнетизм ), полностью намагниченных областей – доменов. Векторы намагниченности доменов в отсутствие внешнего магнитного поля ориентированы таким образом, что полный магнитный момент ферромагнитного материала равен нулю. Если бы в отсутствие поля кристалл железа был бы единым доменом, то это привело бы к возникновению значительного внешнего магнитного поля, содержащего значительную энергию (рис. 6.11, a). Разбиваясь на домены, ферромагнитный кристалл уменьшает энергию магнитного поля. При этом, разбиваясь на косоугольные области (рис. 6.11, г), можно легко получить состояние ферромагнитного кристалла, из которого магнитное поле вообще не выходит. В целом в монокристалле реализуется такое разбиение на доменные структуры, которое соответствует минимуму свободной энергии ферромагнетика. Если поместить ферромагнетик, разбитый на домены, во внешнее магнитное поле, то в нем начинается движение доменных стенок. Они перемещаются таким образом, чтобы областей с ориентацией вектора намагниченности по полю стало больше, чем областей с противоположной ориентацией (рис. 6.11, б, в, г). Такое движение доменных стенок понижает энергию ферромагнетика во внешнем магнитном поле. По мере нарастания магнитного поля весь кристалл превращается в один большой домен с магнитным моментом, ориентированным по полю (рис. 6.11, а).

Про анемометры:  Проверка газового оборудования в квартире по закону | Принцип права – интернет журнал

Электричество и магнетизм

Рис. 6.11

Ферромагнитные материалы играют огромную роль в самых различных областях современной техники. Магнитомягкие материалы используются в электротехнике при изготовлении трансформаторов, электромоторов, генераторов, в слаботочной технике связи и радиотехнике; магнитожесткие материалы применяют при изготовлении постоянных магнитов.

Широкое распространение в радиотехнике, особенно в высокочастотной радиотехнике, получили ферриты ( Электричество и магнетизм ) сочетающие ферромагнитные и полупроводниковые свойства.

Магнитные материалы широко используются в традиционной технологии записи информации в винчестере (рис. 6.12).

Электричество и магнетизмЭлектричество и магнетизм

Рис. 6.12 Рис. 6.13

Магнитное вещество 2 (рис. 6.13) нанесено тонким слоем на основу твердого диска 3. Каждый бит информации представлен группой магнитных доменов (в идеальном случае – одним доменом). Для перемагничивания домена (изменения направления вектора его намагниченности) используется поле записывающей головки 4 (5 – считывающая головка). Наличие дополнительных стабилизирующих слоев, препятствует самопроизвольной потере информации. Записью на вертикально ориентированные домены достигается плотность до 450 Гбайт/см2.

§

Гармоническое колебание — явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:

Электричество и магнетизм

где х — значение изменяющейся величины, t — время, остальные параметры — постоянные: А — амплитуда колебаний, Электричество и магнетизм ω — циклическая частота колебаний, — полная фаза колебаний, фи — начальная фаза колебаний.

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде

Электричество и магнетизм

Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия. Чтобы свободные колебания были гармоническими, необходимо, чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), и в ней отсутствовала диссипация энергии (последняя вызвала бы затухание).

Вынужденные колебания совершаются под воздействием внешней периодической силы. Чтобы они были гармоническими, достаточно чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), а внешняя сила сама менялась со временем как гармоническое колебание (то есть чтобы зависимость от времени этой силы была синусоидальной).

Потенциальная энергия колеб.

Электричество и магнетизм

Кинетическая энергия

Электричество и магнетизм

Полная энергия

Электричество и магнетизм

Полная механическая энергия гармонически колеблющегося тела пропорциональна квадрату амплитуды колебания.

Пружинный, физический и математический маятники.

1. Пружинный маятник — это груз массой m, который подвешен на абсолютно упругой пружине и совершает гармонические колебания под действием упругой силы F = –kx, где k — жесткость пружины. Уравнение движения маятника имеет вид

Электричество и магнетизм

или

Электричество и магнетизм

Из формулы (1) вытекает, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону х = Асоs(ωt φ) с циклической частотой

Электричество и магнетизм (2)

и периодом

Электричество и магнетизм (3)

Формула (3) верна для упругих колебаний в границах, в которых выполняется закон Гука, т. е. если масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника, используя (2) и формулу потенциальной энергии предыдущего раздела, равна

Электричество и магнетизм

2. Физический маятник — это твердое тело, которое совершает колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, которая проходит через точку О, не совпадающую с центром масс С тела (рис. 1).

Электричество и магнетизм

Рис.1

Если маятник из положения равновесия отклонили на некоторый угол α, то, используя уравнение динамики вращательного движения твердого тела, момент M возвращающей силы

Электричество и магнетизм (4)

где J — момент инерции маятника относительно оси, которая проходит через точку подвеса О, l – расстояние между осью и центром масс маятника, Fτ ≈ –mgsinα ≈ –mgα — возвращающая сила (знак минус указывает на то, что направления Fτ и α всегда противоположны; sinα ≈ α поскольку колебания маятника считаются малыми, т.е. маятника из положения равновесия отклоняется на малые углы). Уравнение (4) запишем как

Электричество и магнетизм

или

Электричество и магнетизм

Принимая

Электричество и магнетизм (5)

получим уравнение

Электричество и магнетизм

идентичное с (1), решение которого (1) найдем и запишем как:

Электричество и магнетизм (6)

Из формулы (6) вытекает, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой ω и периодом

Электричество и магнетизм (7)

где введена величина L=J/(ml) — приведенная длина физического маятника.

Точка О’ на продолжении прямой ОС, которая отстоит от точки О подвеса маятника на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника (рис. 1). Применяя теорему Штейнера для момента инерции оси, найдем

Электричество и магнетизм

т. е. ОО’ всегда больше ОС. Точка подвеса О маятника и центр качаний О’ имеют свойство взаимозаменяемости: если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка О подвеса будет новым центром качаний, и при этом не изменится период колебаний физического маятника.

3. Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, которая подвешена на нерастяжимой невесомой нити, и которая колеблется под действием силы тяжести. Хорошее приближение математического маятника есть небольшой тяжелый шарик, который подвешен на длинной тонкой нити. Момент инерции математического маятника

Электричество и магнетизм (8)

где l — длина маятника.

Поскольку математический маятник есть частный случай физического маятника, если предположить, что вся его масса сосредоточена в одной точке — центре масс, то, подставив (8) в (7), найдем выражение для периода малых колебаний математического маятника

Электричество и магнетизм (9)

Сопоставляя формулы (7) и (9), видим, что если приведенная длина L физического маятника равна длине l математического маятника, то периоды колебаний этих маятников одинаковы. Значит, приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, у которого период колебаний совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

§

Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания не­обходимо сложить. Сложим гармониче­ские колебания одного направления и оди­наковой частоты

Электричество и магнетизм

воспользовавшись методом вращающего­ся вектора амплитуды (см. § 140). Постро­им векторные диаграммы этих колебаний (рис.203). Так как векторы A1 и А2 вра­щаются с одинаковой угловой скоростью w, то разность фаз (j2-j1) между ними остается постоянной.

Очевидно, что уравнение результирую-

Электричество и магнетизм

щего колебания будет

х=х1 х2cos(wt j). (144.1)

В выражении (144.1) амплитуда А и начальная фаза j соответственно за­даются соотношениями

Электричество и магнетизм

Таким образом, тело, участвуя в двух гар­монических колебаниях одного направле­ния и одинаковой частоты, совершает так­же гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (j2-j1) складываемых ко­лебаний.

Проанализируем выражение (144.2) в зависимости от разности фаз (j2-j1):

1) j2-j1=±2mp (m = 0, 1, 2,…), тог­да A=A1 A2, т.е. амплитуда результирующего колебания А равна сумме ампли­туд складываемых колебаний;

2) j2-j1= ±(2m 1)p (m=0, 1, 2,…), тогда A = │A1-A2│, т.е. амплиту­да результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых коле­баний.

Для практики особый интерес пред­ставляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового на­правления мало отличаются по частоте. В результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически из­меняющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, возника­ющие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называ­ются биениями.

Пусть амплитуды складываемых коле­баний равны А, а частоты равны w и w Dw, причем Dw<<w. Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колеба­ний были равны нулю:

Электричество и магнетизм

Складывая эти выражения и учитывая, что во втором сомножителе Dw/2<<w, найдем

Электричество и магнетизм

Получившееся выражение есть произведе­ние двух колебаний. Так как Dw<<w, то сомножитель, стоящий в скобках, почти не изменяется, когда сомножитель coswt со­вершит несколько полных колебаний. По­этому результирующее колебание х мож­но рассматривать как гармоническое

Электричество и магнетизм

с частотой w, амплитуда Аб, которого изме­няется по следующему периодическому за­кону:

Электричество и магнетизм

Частота изменения Aб, в два раза боль­ше частоты изменения косинуса (так как берется по модулю), т.е. частота биений равна разности частот складываемых ко­лебаний: wб=Dw. Период биений

Tб=2p/Dw.

Характер зависимости (144.3) показан на рис. 204, где сплошные жирные линии да­ют график результирующего колебания (144.3), а огибающие их — график мед­ленно меняющейся по уравнению (144.4) амплитуды.

Определение частоты тона (звука оп­ределенной высоты (см. §158)) биений между эталонным и измеряемым колеба­ниями — наиболее широко применяемый на практике метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений ис­пользуется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т. д.

Любые сложные периодические коле­бания s=f(t) можно представить в виде суперпозиции одновременно совершаю­щихся гармонических колебаний с различ­ными амплитудами, начальными фазами, а также частотами, кратными циклической частоте w0:

Электричество и магнетизм

Представление периодической функции в виде (144.5) связывают с понятием гар­монического анализа сложного периодиче­ского колебания,или разложения Фурье.

Члены ряда Фурье, определяющие гармо­нические колебания с частотами w, 2w, 3w,…, называются первой(или основной),

второй, третьей и т. д. гармоникамислож­ного периодического колебания.

§

Рассмотрим свободные затухающие коле­бания— колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебатель­ной системой с течением времени умень­шается. Простейшим механизмом умень­шения энергии колебаний является ее пре­вращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах,

а также омических потерь и излучения электромагнитной энергии в электриче­ских колебательных системах.

Закон затухающих колебаний опреде­ляется свойствами колебательных систем. Обычно рассматривают линейные систе­мы— идеализированные реальные систе­мы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе про­цесса не изменяются. Линейными система­ми являются, например, пружинный маят­ник при малых растяжениях пружины (когда справедлив закон Гука), колеба­тельный контур, индуктивность, емкость и сопротивление которого не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения. Различ­ные по своей природе линейные системы описываются идентичными линейными дифференциальными уравнениями, что по­зволяет подходить к изучению колебаний различной физической природы с единой точки зрения, а также проводить их моде­лирование, в том числе и на ЭВМ.

Дифференциальное уравнение свобод­ных затухающих колебанийлинейной системы задается в виде

Электричество и магнетизм

где s — колеблющаяся величина, описы­вающая тот или иной физический про­цесс, =const — коэффициент затухания, — циклическая частота свободных не­затухающих колебаний той же колебатель­ной системы, т. е. при =0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотойколебательной системы.

Решение уравнения (146.1) рассмот­рим в виде

s=eu (146.2)

где u=u(t). После нахождения первой и второй производных выражения (146.2) и подстановки их в (146.1) получим

Электричество и магнетизм

Решение уравнения (146.3) зависит от знака коэффициента перед искомой вели­чиной. Рассмотрим случай, когда этот ко­эффициент положителен:

2=2-2 (146.4)

(если (2-2)>0, то такое обозначение мы вправе сделать). Тогда получим урав­нение типа (142.1)

Электричество и магнетизм

решением которого является функция и=Аcos(t )

(см. (140.1)).

Таким образом, решение уравнения (146.1) в случае малых затуханий (2<<2)

s=Aеtсоs(t ), (146.5) где А=Аеt (146.6)

— амплитуда затухающих колебаний

A— начальная амплитуда. Зависимость (146.5) показана на рис.208 сплошной линией, а зависимость (146.6) — штри­ховыми линиями. Промежуток времени =1/, в течение которого амплитуда за­тухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации.

Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колеба­ния не являются периодическими и, строго говоря, к ним неприменимо понятие перио­да или частоты. Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться по­нятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимума­ми (или минимумами) колеблющейся фи­зической величины (рис. 208). Тогда пери­од затухающих колебаний с учетом формулы

Электричество и магнетизм

(146.4) равен

Электричество и магнетизм

Если A(t) и A(t T)— амплитуды двух последовательных колебаний, соответству­ющих моментам времени, отличающимся на период, то отношение

Электричество и магнетизм

называется декрементом затухания, а его

логарифм

Электричество и магнетизм

— логарифмическим декрементом затуха­ния;Ne— число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания — постоянная для данной колебательной системы величина.

Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротно­стиQ, которая при малых значениях лога­рифмического декремента равна

Электричество и магнетизм

(так как затухание невелико (2<<2), то Т принято равным Т).

Из формулы (146.8) следует, что до­бротность пропорциональна числу колеба­ний Ne, совершаемых системой за время релаксации.

Применим выводы, полученные для свободных затухающих колебаний линей­ных систем, для колебаний различной фи­зической природы — механических (в ка­честве примера рассмотрим пружинный маятник) и электромагнитных (в качестве примера рассмотрим электрический коле­бательный контур).

1. Свободные затухающие колебания пружинного маятника.Для пружинного маятника (см. § 142) массой т, совершаю­щего малые колебания под действием уп­ругой силы F=-kx, сила трения про­порциональна скорости, т. е.

Электричество и магнетизм

где r — коэффициент сопротивления;знак минус указывает на противоположные на­правления силы трения и скорости.

При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид

Электричество и магнетизм

Используя формулу =k/m (см. (142.2)) и принимая, что коэффици­ент затухания

=r/(2m), (146.10)

получим идентичное уравнению (146.1) дифференциальное уравнение затухающих колебаний, маятника:

Электричество и магнетизм

Из выражений (146.1) и (146.5) вытекает, что маятник колеблется по закону

х=Aеtcos(t ) с частотой =(2-r2/4m2) (см. (146.4)).

Добротность пружинного маятника,

согласно (146.8) и (146.10), Q=1/rkm.

§

Чтобы в реальной колебательной системе осуществлять незатухающие колебания, надо компенсировать каким-либо потери энергии. Такая компенсация возможна, если использовать какой-либо периодически действующего фактора X(t), который изменяется по гармоническому закону:
Электричество и магнетизм
При рассмотрении механических колебаний, то роль X(t) играет внешняя вынуждающая сила

Электричество и магнетизм (1)
С учетом (1) закон движения для пружинного маятника (формула (9) предыдущего раздела) запишется как

Электричество и магнетизм
Используя формулу для циклической частоты свободных незатухающих колебаний прижинного маятника и (10) предыдущего раздела, получим уравнение

Электричество и магнетизм (2)
При рассмотрении электрического колебательный контура роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя соответсвующим образом периодически изменяющаяся по гармоническому закону э.д.с. или переменное напряжение
Электричество и магнетизм (3)
Тогда дифференциальное уравнение колебаний заряда Q в простейшем контуре, используя (3), можно записать как

Про анемометры:  Газовый котел BaltGaz Turbo E 24: отзывы

Электричество и магнетизм

Зная формулу циклической частоты свободных колебаний колебательного контура и формулу предыдущего раздела (11), придем к дифференциальному уравнению

Электричество и магнетизм (4)
Колебания, которые возникают под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с., называются соответственно вынужденными механическими и вынужденными электромагнитными колебаниями.

Уравнения (2) и (4) приведем к линейному неоднородному дифференциальному уравнению

Электричество и магнетизм (5)

причем далее мы будем применять его решение для вынужденных колебаний в зависимости от конкретного случая (x если механические колебания равно F/m, в случае электромагнитных колебаний – Um/L).

Решение уравнения (5) будет равно (как известно из курса дифференциальных уравнений) сумме общего решения (5) однородного уравнения (1) и частного решения неоднородного уравнения. Частное решение ищем в комплексной форме. Заменим правую часть уравнения (5) на комплексную переменную хeiωt :

Электричество и магнетизм (6)

Частное решение данного уравнения будем искать в виде

Электричество и магнетизм

Подставляя выражение для s и его производных ( Электричество и магнетизм и Электричество и магнетизм ) в выражение (6), найдем

Электричество и магнетизм (7)

Поскольку это равенство должно быть верным для всех моментов времени, то время t из него должно исключаться. Значит η=ω. Учитывая это, из формулы (7) найдем величину s и умножим ее числитель и знаменатель на (ω2 – ω2 – 2iδω)

Электричество и магнетизм

Это комплексное число представим в экспоненциальной форме:

Электричество и магнетизм

где

Электричество и магнетизм (8)

Электричество и магнетизм (9)

Значит, решение уравнения (6) в комплексной форме будет иметь вид

Электричество и магнетизм

Его вещественная часть, которая является решением уравнения (5), равна

Электричество и магнетизм (10)

где А и φ определяются соответственно формулами (8) и (9).

Следовательно, частное решение неоднородного уравнения (5) равно

Электричество и магнетизм (11)

Решение уравнения (5) есть сумма общего решения однородного уравнения

Электричество и магнетизм (12)

и частного решения уравнения (11). Слагаемое (12) играет значительную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, которое определяется равенством (8). Графически вынужденные колебания изображены на рис. 1. Значит, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой ω и являются гармоническими; амплитуда и фаза колебаний, которые определяются уравнениями (8) и (9), также зависят от ω .

Электричество и магнетизм

Рис.1

Запишем выражения (10), (8) и (9) для электромагнитных колебаний, учитывая, что ω2 = 1/(LC) и δ = R/(2L) :

Электричество и магнетизм (13)

Электричество и магнетизм

Продифференцировав Q=Qmcos(ωt–α) по t, получим силу тока в контуре при установившихся колебаниях:

Электричество и магнетизм (14)

где

Электричество и магнетизм (15)

Уравнение (14) может быть записано как

Электричество и магнетизм

где φ = α – π/2 — сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением (см. (3)). В соответствии с уравнением (13)

Электричество и магнетизм (16)

Из (16) следует, что ток отстает по фазе от напряжения (φ>0), если ωL>1/(ωС), и опережает напряжение (φ<0), если ωL<1/(ωС).

Выражения (15) и (16) можно также вывести с помощью векторной диаграммы. Это будет осуществлено далее для переменных токов.

§

Колебания, возбужденные в какой-либо точке среды (твердой, жидкой или газообразной), распространяются в ней с конечной скоростью, зависящей от свойств среды, передаваясь от одной точки среды к другой. Чем дальше расположена частица среды от источника колебаний, тем позднее она начнет колебаться. Иначе говоря, фазы колеба­ний частиц среды и источника тем больше отличаются друг от друга, чем больше это расстояние. При изучении распространения колебаний не учитывается дискретное (молекулярное) строение среды и среда рассматривается как сплошная, т. е. непрерыв­но распределенная в пространстве и обладающая упругими свойствами.

Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом (или волной). При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передаются лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.

Среди разнообразных волн, встречающихся в природе и технике, выделяются следующие их типы: волны на поверхности жидкости, упругие и электромагнитные волны. Упругими (или механическими) волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Упругие волны бывают продольные и попереч­ные. В продольных волнах частицы среды колеблются в направлении распространения волны, в поперечных — в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны.

Продольные волны могут возбуждаться в средах, в которых возникают упругие силы при деформации сжатия и растяжения, т. е. твердых, жидких и газообразных телах. Поперечные волны могут возбуждаться в среде, в которой возникают упругие силы при деформации сдвига, т. е. в твердых телах; в жидкостях и газах возникают только продольные волны, а в твердых телах — как продольные, так и поперечные.

Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими. На рис. 220 представлена гармоническая поперечная волна, распространяющаяся со скоростью v вдоль оси х, т. е. приведена зависимость между смещением частиц среды, участвующих в волновом процессе, и расстоянием х этих частиц (например, частицы В) от источника колебаний О для какого-то фиксированного момента времени t. Приведенный график функции (x, t)похож на график гармонического колебания, однако они различны по существу. График волны дает зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени, а график колебаний — зависимость смещенияданной частицы от времени.

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны (рис. 220). Длина волны равна тому расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебания за период, т. е.

Электричество и магнетизм

или, учитывая, что T= 1/, где — частота колебаний,

Электричество и магнетизм

Электричество и магнетизм

Если рассмотреть волновой процесс подробнее, то ясно, что колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси х, а колеблется совокупность частиц, расположенных в некотором объеме, т. е. волна, распространяясь от источника колебаний, охватывает все новые и новые области пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется волновым фронтом. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновых поверхностей можно провести бесчисленное множество, а волновой фронт в каждый момент времени — один. Волновой фронт также является волновой поверхностью. Волновые поверхности могут быть любой формы, а в простейшем случае они представляют собой совокупность плоскостей, параллельных друг другу, или совокупность концентрических сфер. Соответственноволна называется плоской или сферической.

§

Фа́зовая ско́рость — скорость перемещения точки, обладающей постоянной фазой колебательного движения в пространстве, вдоль заданного направления. Обычно рассматривают направление, совпадающее с направлением волнового вектора, и фазовой называют скорость, измеренную именно в этом направлении, если противное не указано явно (то есть если явно не указано направление, отличное от направления волнового вектора). Фазовая скорость по направлению волнового вектора совпадает со скоростью движения фазового фронта (поверхности постоянной фазы). Ее можно рассматривать при желании как векторную величину.

Наиболее употребительное обозначение: Электричество и магнетизм .

Строго говоря, понятие фазы применимо только при описании гармонических или монохроматических (то есть синусоидальных Электричество и магнетизм или являющихся мнимыми экспонентами Электричество и магнетизм ) волн, а также — приближенно — для волн близкой формы (например, почти монохроматических волновых пакетов) или легко сводящихся к синусоидальным (например, сферических волн вида Электричество и магнетизм ), или, что менее корректно, при описании периодических волн другой формы. Тем не менее, волну (практически) любой формы с помощьюпреобразования Фурье можно представить как сумму монохроматических волн, и тогда к каждой из этих волн понятие фазы и фазовой скорости применимо вполне строго (впрочем, тогда у каждой монохроматической волны в разложении будет, вообще говоря, своя фазовая скорость, не совпадающая с другими; только в частных случаях они могут все точно совпадать или быть близки).

Для описания волн, отличных от гармонических, (особенно для описания волновых пакетов), используют, кроме понятия фазовой скорости, понятие скорости групповой(описывающей движение не отдельного гребня в волновом пакете, а его огибающей, например, максимума огибающей).

Волново́е число́ (также[1] называемое пространственной частотой) — это отношение 2π радиан к длине волны: Электричество и магнетизм

пространственный аналог круговой частоты[2].

Обычное обозначение[3]: Электричество и магнетизм .

Определение: волновым числом k называется быстрота роста фазы волны φ по пространственной координате[4]:

Электричество и магнетизм

В одномерном случае волновому числу обычно приписывают знак минус, если волна распространяется в отрицательном направлении (против оси). В многомерном — это обычно синоним абсолютной величины волнового вектора или его компонент (несколько волновых чисел по количеству осей координат), также может быть проекцией волнового вектора на некоторое определенное выбранное направление.

Поскольку в большинстве случаев волновое число имеет смысл только применительно к монохроматической волне (строго монохроматической или по крайней мере почти монохроматической), производную в определении можно (для этих самых распространенных случаев) заменить на выражение с конечными разностями:

Электричество и магнетизм

Исходя из этого, можно получить разные более-менее удобные формулировки[5]:

· Волновое число есть разность фазы волны (в радианах) в один и тот же момент времени в пространственных точках на расстоянии единицы длины (одного метра).

· Волновое число есть количество пространственных периодов (горбов) волны, приходящееся на 2π метров.

· Волновое число равно числу радиан волны на отрезке в 1 метр.

В спектроскопии волновым числом часто называют просто величину, обратную длине волны (1/λ), измеряемую обычно в обратных сантиметрах (см−1). Такое определение отличается от обычного отсутствием множителя 2π.

Единица измерения — рад·м−1, физическая размерность м−1 (в системе СГС: см−1).

§

Стоя́чая волна́ — явление интерференции волн, распространяющихся в противоположных направлениях, при котором перенос энергии ослаблен или отсутствует[1].

Стоячая волна (электромагнитная) — периодическое изменение амплитуды напряженности электрического и магнитного полей вдоль направления распространения, вызванное интерференцией падающей и отраженной волн[2].

Электричество и магнетизм

Стоячая волна — колебательный процесс в распределённых колебательных системах с характерным расположением чередующихся максимумов (пучностей) и минимумов (узлов) амплитуды. Такой колебательный процесс возникает, например, при отражении волны от преград и неоднородностей в результате взаимодействия (интерференции) падающей и отражённой волн. На результат интерференции влияют частота колебаний, модуль и фаза коэффициента отражения, изменение или сохранение поляризации волн при отражении и коэффициент затухания волн в среде распространения.

Строго говоря, стоячая волна может существовать только при отсутствии потерь в среде распространения (или в активной среде) и полном отражении падающей волны. В реальной среде существует режим смешанных волн: кроме стоячей волны присутствует и Бегущая волна, переносящая энергию к местам поглощения и излучения.

Примерами стоячей волны могут служить колебания струны, колебания воздуха в органной трубе[3]; в природе — волны Шумана. Для демонстрации стоячих волн в газе используют трубу Рубенса.

· Электричество и магнетизм

Двумерная стоячая волна на диске. Основная мода

· Электричество и магнетизм

Более высокая гармоника стоячей волны на диске

В случае гармонических колебаний в одномерной среде стоячая волна описывается формулой:

Электричество и магнетизм ,

где u — возмущения в точке х в момент времени t, Электричество и магнетизм — амплитуда стоячей волны, Электричество и магнетизм — частота , k — волновой вектор, Электричество и магнетизм — фаза.

Стоячие волны являются решениями волновых уравнений. Их можно представить себе как суперпозицию волн, распространяющихся в противоположных направлениях.

При существовании в среде стоячей волны, существуют точки, амплитуда колебаний в которых равна нулю. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки, в которых колебания имеют максимальную амплитуду, называются пучностями.

Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси х в противоположных направлениях:

Электричество и магнетизм

Сложив вместе эти уравнения и преобразовав результат по формуле для суммы косинусов, получим уравнение стоячей волны:

Электричество и магнетизм

Преобразовав это уравнение, получим упрощенное уравнение стоячей волны:

Электричество и магнетизм

§

Интерфере́нция све́та — перераспределение интенсивности света в результате наложения (суперпозиции) нескольких когерентных световых волн. Это явление сопровождается чередующимися в пространстве максимумами и минимумами интенсивности. Её распределение называется интерференционной картиной.

3.1.1. Монохроматические волны

Монохроматическая волна – это строго гармоническая (синусоидальная) волна с постоянными во времени частотой, амплитудой и начальной фазой.

Амплитуда и фаза такой волны могут изменяться от одной точкипространства к другой, частота же остается постоянной во всем пространстве.

Монохроматические волны не ограничены ни во времени, ни в пространстве, т.е. не имеют ни начала, ни конца. Поэтому они не могут быть реализованы в действительности. Однако эти идеализации играютгромадную роль в учении о волнах, и мы будем ими пользоваться.

3.1.2. Расчет интерференции двух волн

Предположим, что в рассматриваемой точке наблюдения накладываются друг на друга две монохроматические световые волны, напряженности электрического поля которых [см. (2.9)]

Электричество и магнетизм (1)

частоты их одинаковы и одинаково направление колебаний вектора Электричество и магнетизм .

Тогда согласно принципу суперпозиции

Электричество и магнетизм (2)

или в рассматриваемом случае одинакового направления колебаний векторов Электричество и магнетизм1 и Электричество и магнетизмЕ=Е1 Е2 . (3)

Возводя равенство (3) в квадрат с учетом (1) и произведя усреднение по времени, получим

I=I1 I2 2Электричество и магнетизм(4)

где I1и I2 – интенсивности первой и второй волны соответственно [см. (2.20)].

Максимальная интенсивность Iмакс=I1 I2 2 Электричество и магнетизмбудет при условии

Электричество и магнетизм, (5)

когда Электричество и магнетизмПри I1=I2=I интенсивность в максимумах увеличится в 4 раза (Iмакс=4I).

Минимальная интенсивность Iмин=I1 I2-2 Электричество и магнетизмбудет при условии

Электричество и магнетизм, (6)

когда Электричество и магнетизмПри I1=I2=IIмин=, т.е. свет свет = тьма.

Следовательно, при сложении в пространстве двух (или нескольких) световых волн могут возникать в одних местах максимумы, а в других – минимумы интенсивности, т.е. светлые и темные участки, полосы.

Это явление называется интерференцией света.

Получившаяся картина будет устойчивой (т.е. она сохраняется во времени) при наложении когерентных волн, т.е. волн, излучаемых когерентными источниками.

3.1.3. Когерентные волны. Время и длина когерентности

Две волны [см. (1)] или несколько волн являются полностью когерентными (согласованными), если частоты их одинаковы, амплитуды и разность фаз постоянны, т.е.

w1=w2, E10=const, E20=const, j2-j1=const. (7)

Этому Электричество и магнетизм условию удовлетворяют монохроматические волны (1), которые неограниченны в пространстве и времени.

Из повседневного опыта известно, что при наложении света от двух независимых (некогерентных) источников излучения, например, двух электрических лампочек, никогда не удается наблюдать явление интерференции. В этом случае j2-j1 изменяется во времени и за время наблюдения <cos(j2-j1)>=0 и результирующая интенсивность I=I1 I2, т.е. равна сумме интенсивностей налагаемых друг на друга световых волн, а не Электричество и магнетизм и не Электричество и магнетизм .

Это объясняется механизмом испускания света атомами источника излучения. В параграфе 2.4 было показано, что продолжительность процесса излучения света атомом t » 10-8с. За это время возбужденный атом, растратив свою избыточную энергию на излучение, возвращается в нормальное (невозбужденное) состояние и излучение им света прекращается. Затем, спустя некоторый промежуток времени, атом может вновь возбудиться и начать излучать свет.

Такое прерывистое излучение света атомами в виде отдельных кратковременных импульсов – цугов волн – характерно для любого источника света. Каждый цуг имеет ограниченную протяженность в пространстве Dx=ct и составляет 4 – 16 м в видимом диапазоне.

Про анемометры:  Отключение газового котла: можно ли отключать для экономии, как это сделать

Электричество и магнетизм Вследствие этого, а также из-за уменьшения амплитуды волны, цуг волн отличается от монохроматической волны и его можно представить в виде совокупности (суммы) монохроматических волн, круговые частоты которых лежат в интервале от w-Dw/2 до w Dw/2. Можно показать, что

Электричество и магнетизм . (8)

Реальная волна, излучаемая в течение ограниченного промежутка времени и охватывающая ограниченную область пространства тем более не является монохроматической. Спектр ее частот включает частоты от w-Dw/2 до w Dw/2.

Промежуток времени tког, в течение которого разность фаз колебаний, соответствующих волнам с частотами w-Dw/2 и w Dw/2 изменяется на p, называется периодом когерентности немонохроматической волны

Электричество и магнетизм . (9)

Это название связано с тем, что немонохроматическую волну можно приближенно считать когерентной с частотой w в течение промежутка времени Dt£tког.

Отметим, что для монохроматической волны Dw и Dn равны нулю и tког®¥.

Расстояние lког, на которое распространится волна за время когерентности, называется длиной когерентности lког =vtког. (10)

В пределах такой длины волну можно считать когерентной.

Для видимого солнечного света, имеющего спектр частот от 4×1014 до 8×1014 Гц (l=0,75 мкм и 0,375 мкм соответственно), ширина спектра Dw=2pDn=2p(8-4)×1014=8p×1014 c-1 и согласно (9), (10)

tког=2,5×10-15с, lког =0,75×10-6м. (11)

Заметим, что для лазеров непрерывного действия tког достигает 10-2 с, а lког» 106 м. Однако из-за неоднородности атмосферы удается наблюдать интерференцию при разности хода в несколько километров.

§

Электромагнитные волны поперечны, т.е. вектры напряженности электрического и магнитного полей колеблются перпендикулярно направлению распространения волны. Элктромагнитная волна (свет), испускаемая отдельным центром излучения (атомом, молекулой, узлом кристаллической решетки), плоско (линейно) поляризована (вектор напряженности электрического

поля Электричество и магнетизм при распространении волны колеблется в одной и той же плоскости) и сохраняет состояние поляризации в течение 10-8 с и меньше. В следующем акте излучения свет может обладать другим направлением поляризации. Обычно одновременно наблюдается излучение огромного числа атомов, различно ориентированных и меняющих ориентацию по законам статистики. Это излучение и является естественным светом.

Естественный свет – совокупность некогерентных световых волн со всеми возможными направлениями напряженности электромагнитного поля, быстро и беспорядочно сменяющими друг друга. При этом все направления колебаний, перпендикулярных к световым лучам, равновероятны, т.е. естественный свет обладает осевой симметрией относительно направления распространения.

Поляризация света – физическая характеристика оптического излучения, описывающая поперечную анизотропию световых волн, т.е. неэквивалентность различных направлений в плоскости, перпендикулярной световому лучу.

Свет, в котором направления колебаний светового вектора (вектора Электричество и магнетизм ) каким-либо образом упорядочены, называется поляризованным. Если колебания светового вектора происходят только в одной плоскости, то свет называют плоскополяризованным (линейно поляризованным). Свет, в котором колебания одного направления преобладают над колебаниями других направлений, называется частично поляризованным.

Плоскость поляризации – плоскость, проходящая через направление колебаний электрического вектора линейно поляризованной световой волны и направление распространения этой волны.

Поляризованный свет может быть получен из естественного с помощью поляризующих приборов – поляризаторов.Поляризаторы – устройства, служащие для преобразования естественного или частично поляризованного света в плоскополяризованный. Их действие основано на одном из трёх физических явлений: поляризация света при отражении и преломлении на границе раздела двух изотропных прозрачных диэлектриков, явление оптической анизотропии и связанное с ним двойное лучепреломление, явление дихроизма. Поляризаторы свободно пропускают колебания, параллельные плоскости, которую называют плоскостью поляризатора, и полностью задерживают колебания, перпендикулярные этой плоскости. Плоскость поляризатора определяет плоскость поляризации световой волны, прошедшей через поляризатор.

Анализатор – такой же поляризатор, предназначенный для определения состояния поляризации света (степени поляризации, степени эллиптичности и т.п.) или для регистрации ее изменения. С помощью анализатора можно обнаружить положение плоскости поляризации света. Пусть на анализатор падает плоскополяризованный свет с амплитудой Электричество и магнетизм,образующей

угол Электричество и магнетизм с главной плоскостью анализатора. Анализатор пропустит только составляющую Электричество и магнетизм . Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды. Следовательно, интенсивность плоскополяризованного света Электричество и магнетизм , прошедшего через анализатор, равна:

Электричество и магнетизм (6.38.1)

где Электричество и магнетизм – интенсивность света, падающего на анализатор, Электричество и магнетизм – угол между плоскостью поляризации падающего света и плоскостью анализатора. Соотношение (6.38.1) носит название закона Малюса.

§

Если естественный свет падает на границу раздела двух диэлектриков (например, воздуха и стекла), то часть его отражается, а часть преломляется и распространяется во второй среде. Устанавливая на пути отраженного и преломленного лучей анализатор (например, турмалин), убеждаемся в том, что отраженный и преломленный лучи частично поляризованы: при поворачивании анализатора вокруг лучей интенсивность света периодически усиливается и ослабевает (полного гашения не наблюдается!). Дальнейшие исследования показали, что в отраженном луче преобладают колебания, перпендикулярные плоскости падения (на рис. 275 они обозначены точками), в прелом ленном – колебания, параллельные плоскости падения (изображены стрелками).

Электричество и магнетизм

Рис. 275

Степень поляризации (степень выделения световых волн с определенной ориентацией электрического (и магнитного) вектора) зависит от угла падения лучей и показателя преломления. Шотландский физик Д. Брюстер (1781-1868) установил закон, согласно которому при угле падения IB (угол Брюстера), определяемого соотношением

Электричество и магнетизм

(n21 – показатель преломления второй среды относительно первой), отраженный луч является плоскополяризованным (содержит только колебания, перпендикулярные плоскости падения) (рис. 276). Преломленный же луч при угле падения iBполяризуется максимально, но не полностью.

Электричество и магнетизм

Рис. 276

Если свет падает на границу раздела под углом Брюстера, то отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны (tgiB = siniB/cosiB, n21 = siniB / sini2(i2 – угол преломления), откуда cosiB = sini2). Следовательно, iB – i2 = p/2, но i¢B = iB (закон отражения), поэтому i’B i2 = p/2.

Степень поляризации отраженного и преломленного света при различных углах падения можно рассчитать из уравнений Максвелла, если учесть граничные условия для электромагнитного поля на границе раздела двух изотропных диэлектриков (так называемые формулы Френеля).

Степень поляризации преломленного света может быть значительно повышена (многократным преломлением при условии падения света каждый раз на границу раздела под углом Брюстера). Если, например, для стекла (n = 1,53) степень поляризации преломленного луча составляет «15%, то после преломления на 8-10 наложенных друг на друга стеклянных пластинок вышедший из такой системы свет будет практически полностью поляризованным. Такая совокупность пластинок называется стопой. Стопа может служить для анализа поляризованного света как при его отражении, так и при его преломлении.

§

Закон Стефана — Больцмана — интегральный закон излучения абсолютно чёрного тела. Определяет зависимость плотности мощности излучения абсолютно чёрного тела от его температуры.

В словесной форме закон может быть сформулирован следующим образом[1]:

Полная объёмная плотность равновесного излучения и полная испускательная способность абсолютно чёрного тела пропорциональна четвёртой степени его температуры.

Математически выражается в следующей форме для объёмной плотности равновесного излучения Электричество и магнетизм :

Электричество и магнетизм

где Электричество и магнетизм — некая универсальная константа, Электричество и магнетизм — температура абсолютно чёрного тела.

Для полной испускательной способности Электричество и магнетизм закон имеет вид:

Электричество и магнетизм

где Электричество и магнетизм — постоянная Стефана — Больцмана, которая может быть выражена через фундаментальные константы путём интегрирования по всем частотам формулы Планка[2]:

Электричество и магнетизм

где Электричество и магнетизм — постоянная Планка, Электричество и магнетизм — постоянная Больцмана, Электричество и магнетизм — скорость света.

Численно постоянная Стефана — Больцмана равна

Электричество и магнетизм Дж·с−1·м−2 · К−4.[3]

Закон открыт сначала эмпирически Й. Стефаном в 1879 году, и через пять лет выведен теоретически Л. Больцманом в предположении пропорциональности плотности энергии излучения его давлению Электричество и магнетизм .

Важно отметить, что закон говорит только об общей излучаемой энергии. Распределение энергии по спектру излучения описывается формулой Планка, в соответствии с которой в спектре имеется единственный максимум, положение которого определяется законом Вина.

Зако́н смеще́ния Ви́на устанавливает зависимость длины волны, на которой поток излучения энергии чёрного теладостигает своего максимума, от температуры чёрного тела.

λmax = b/T ≈ 0,002898 м·К × T−1 (K),

где T — температура, а λmax — длина волны излучения с максимальной интенсивностью. Коэффициент b, называемый постоянной Вина, в Международной системе единиц (СИ) имеет значение 0,002898 м·К.

Для частоты света Электричество и магнетизм (в герцах) закон смещения Вина имеет вид:

Электричество и магнетизм

где

α ≈ 2,821439… — постоянная величина (корень уравнения Электричество и магнетизм ),

k — постоянная Больцмана,

h — постоянная Планка,

T — температура (в кельвинах).

Электричество и магнетизм На рисунке приведена зависимость излучательной способности АЧТ от длины волны при различных температурах. Эти данные получены экспериментально. Из графиков видно, что энергия распределяется по длинам волн неравномерно, с увеличением температуры излучение резко возрастает. При указанных температурах максимумы излучения попадают в инфракрасный диапазон длин волн, на видимую область (0,4-0,75 мкм) приходится незначительное количество энергии [v]. С ростом температуры максимумы смещаются в сторону более коротких длин волн. На втором рисунке приведен для сравнения спектр солнечного излучения. «Провалы» в спектре – это линии поглощения атмосферой, огибающая – спектр излучения АЧТ.

Электричество и магнетизм

§

Испускание электронов веществом под действием света называется внешним фотоэффектом.

Электричество и магнетизм C А.Г. Столетов (1988 г.) экспериментально исследовал фотоэффект. Схема опыта представлена на рис.1. Плоский конденсатор, одной из пластин, которого служила медная сетка С, а в качестве второй цинковая пластина К, был включен через гальванометр G в цепь аккумуляторной батареи.Напряжение между пластинами измерялось вольтметром. При освещении отрицательно заряженной пластины К светом, в цепи возникал электрический ток, называемый фототоком.

На рис. 2. приведены зависимости фототока I от напряжения U между электродами при различных интенсивностях света (энергетической освещенности E) .

Столетов установил следующие закономерности внешнего фотоэффекта:

Электричество и магнетизм 1. Максимальная начальная скорость фотоэлектронов определяется частотой света и не зависит от его интенсивности.

2. Для каждого вещества (катода) существует красная граница фотоэффекта, т.е. минимальная частота v, при которой еще возможен фотоэффект.

3.Фототок насыщения пропорционален энергетической освещенности Е катода.

Фотоны. Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта.

Фото́н (от др.-греч. φῶς, род. пад. φωτός, «свет») — элементарная частица, квант электромагнитного излучения (в узком смысле — света). Это безмассовая частица, способная существовать в вакууме только двигаясь со скоростью света.Электрический заряд фотона также равен нулю. Фотон может находиться только в двух спиновых состояниях с проекциейспина на направление движения (спиральностью) ±1. В физике фотоны обозначаются буквой γ.

Классическая электродинамика описывает фотон как электромагнитную волну с круговой правой или левой поляризацией. С точки зрения классической квантовой механики, фотону как квантовой частице свойственен корпускулярно-волновой дуализм, он проявляет одновременно свойства частицы и волны.

Квантовая электродинамика, основанная на квантовой теории поля и Стандартной модели, описывает фотон каккалибровочный бозон, обеспечивающий электромагнитное взаимодействие: виртуальные фотоны являются квантами-переносчиками электромагнитного поля и обеспечивают взаимодействие между двумя электрическими или магнитными зарядами.[5][6]

Фотон — самая распространённая по численности частица во Вселенной. На один нуклон приходится не менее 20 миллиардов фотонов.[7]

А. Эйнштейн в 1905 г. показал, что явление фотоэффекта и его закономерности могут быть объяснены на основе квантовой теории М. Планка. Согласно Эйнштейну, свет (излучение) частотой ν не только испускается, как это предполагал М. Планк, но и распространяется в пространстве и поглощается веществом отдельными порциями (квантами), энергия которых

Eo = hν, (1)

где h = 6,626176*10-34 Дж×с – постоянная Планка,

Позднее кванты излучения получили название фотонов. По Эйнштейну, каждый квант поглощается только одним электроном. Если энергия кванта больше чем работа выхода электрона из металла, т.е. hν>=Авых, то электрон может покинуть поверхность металла. Остаток энергии кванта идет на создание кинетической энергии электрона, покинувшего вещество. Если электрон освобождается излучением не у самой поверхности, а на некоторой глубине, то часть полученной энергии может быть потеряна вследствие случайных столкновений электрона в веществе, и его кинетическая энергия окажется меньшей. Следовательно, энергия падающего на вещество кванта излучения расходуется на совершение электроном работы выхода и сообщение вылетевшему фотоэлектрону кинетической энергии.

Закон сохранения энергии для такого процесса будет выражаться равенством

h·n = Авых m·V2/2 (2)

Это уравнение называется уравнением Эйнштейна для внешнего фотоэффекта.

§

Согласно гипотезе световых квантов Эйнштейна, свет испускается, поглощается и распространяется дискретными порциями (квантами), названными фотонами. Энергия фотона Е=hν. Его масса находится из закона взаимосвязи массы и энергии:

mф = hν/с2. (32.5)

Фотон — элементарная частица, которая всегда движется со скоростью света и имеет массу покоя, равную нулю. Следовательно, масса фотона отличается от массы таких элементарных частиц, как электрон, протон и нейтрон, которые обладают отличной от нуля массой покоя и могут находиться в состоянии покоя.

Импульс фотона рф равен:

рф = ε0 /с = hν/с. (32.6)

Фотон, как и любая другая частица, характеризуется энергией, массой и импульсом. Выражения (32.5) и (32.6) связывают корпускулярные характеристики фотона — массу, импульс и энергию — с волновойхарактеристикой света – его частотой. Если фотоны обладают импульсом, то свет, должен оказывать давление на поверхность.

Согласно квантовой теории, давление света на поверхность обусловлено тем, что каждый фотон при соударении с поверхностью передает ей свой импульс.

Рассчитаем с точки зрения квантовой теории световое давление, оказываемое на поверхность тела потоком монохроматического излучения (частота ν), падающего перпендикулярно поверхности.

Если в единицу времени на единицу площади поверхности тела падает N фотонов, то при коэффициенте отражения ρ света от поверхности тела ρN- фотонов отразится, а (1)N— поглотится.

Каждый поглощенный фотон передает поверхности импульс рф =hν/с, а каждый отраженный — 2рф =2hν/с (при отражении импульс фотона изменяется на рф). Давление света на поверхность равно импульсу, который передают поверхности в 1с N фотонов:

Р = 2 Электричество и магнетизмρN Электричество и магнетизм (1- ρ ) N = (1 ρ) Электричество и магнетизмN, (32.7)

N hν =Ее, есть энергия всех фотонов, падающих на единицу поверхности в единицу времени, т. е. энергетическая освещенность поверхности, а Ее/с= ω— объемная плотность энергии излучения. Поэтому давление, производимое светом при нормальном падении на поверхность,

Р = Ее(1 ρ ) = ω (1 ρ ). (32.8)

Давление света одинаково успешно объясняется и волновой, и квантовой теорией. Экспериментальное доказательство существования светового давления на твердые тела и газы дано в опытах П. Н. Лебедева. В частности оказалось, что давление света на зеркальную поверхность вдвое больше, чем на зачерненную.

Опыт Лебедева – это первый лабораторный опыт подтверждающий наличие светового давления.
Опыт, проведенный им в 1899 г., подтвердил предположение Максвелла о том, что световое давление на твёрдые тела существует.
Результаты опыта подтвердили теоретические предположения Максвелла о существовании светового давления. А его величина была почти такой же, как и предсказал Максвелл. В 1907 – 1910 г. г. с помощью более точных экспериментов Лебедев измерил давление света на газы.

Оцените статью
Анемометры
Добавить комментарий

Adblock
detector