Трубка Пито – frwiki.wiki

Расход в трубопроводе можно измерить с помощью водомера Вентури, представляющего собой вставку меньшего диаметра с плавным входом и выходом (рис.44).

Рисунок 44 – Водомер Вентури

В суженной части диаметром d₂ скорость увеличивается, а давление и пьезометрическая высота = h₂ уменьшаются по сравнению с давлением и пьезометрической высотой до сужения = h₁. Зависимость между объёмным расходом Q и разностью h₁ – h₂ = Dh можно получить с помощью уравнения Бернулли и уравнения расхода. Расчётные сечения выберем до сужения 1-1 и в суженной части 2-2. Ввиду небольшого расстояния между сечениями и плавного сужения потери напора Dh_пот между этими сечениями будут незначительными и в первом приближении ими можно пренебречь. Если труба горизонтальна, то z₁ = z₂ и уравнение Бернулли примет вид

h₁ a₁×= h₂ a₂×.

С учетом того, что средняя скорость в сечении v из уравнения неразрывности течения равна отношению расхода Q к площади живого сечения потока w (v = ) и, принимая a₁ = a₂ = 1, получим:

h₁ – h₂ = .

Для круглой трубы w = и тогда расход можно вычислить по формуле:

Q = = × = B× ,

где В – постоянная величина для каждого водомера.

В = = × .

Фактический расход Q_ф будет несколько меньше из-за потерь напора:

Q_ф = m×Q,

где m = тарировочный коэффициент (коэффициент расхода), значение которого меньше единицы. Обычно m = 0,95…0,97.

Тема 23 Уравнение Бернулли для сжимаемой жидкости (газа)

Для газов, обладающих вязкостью, уравнение Бернулли в дифференциальной форме (для элементарной струйки) имеет вид:

g×dz g×dh = 0.

Интегрируя это уравнение вдоль элементарной струйки по длине Dl от сечения 0-0 до любого произвольного сечения, получим:

g× (z – z₀) g×h_пот = С, (23.1)

где h_пот – потери напора по длине Dl.

Величину можно найти, если плотность r является функцией от давления р. Вид этой функции зависит от характера термодинамического процесса, происходящего в том или другом случае движения газа. Наиболее общим случаем является политропный процесс. Из уравнения политропы = = const находим функцию r = f(p), которая имеет вид r =r₀× .

После подстановки найдём

= = × = × =

= × .

Но первое слагаемое в скобках с учётом уравнения политропы = равно

= = ,

а второе слагаемое

= .

Таким образом, искомая величина интеграла

= × .

Делая подстановку в уравнение (23.1), получим уравнение Бернулли в виде

g× (z – z₀) × g×h_пот = С.

Разделим величины и запишем уравнение Бернулли при политропном процессе для двух сечений реального газа 0-0 и любого произвольного сечения:

g×z₀ × = g×z × g×h_пот. (23.2)

Используя зависимость (1.9) = R×T₀, а = R×T, можно придать уравнению (23.2) вид

g×z₀ ×R×T₀ = g×z ×R×T g×h_пот. (23.3)

где R – удельная газовая постоянная.

При адиабатном процессе движение газа описывается теми же основными уравнениями, но при этом показатель политропы n заменяется показателем адиабаты k, поэтому при адиабатном процессе уравнение Бернулли будет записано в виде:

g×z₀ × = g×z × g×h_пот. (23.4)

или

g×z₀ ×R×T₀ = g×z ×R×T g×h_пот. (23.5)

Рассмотрим движение газа при изотермном процессе, когда соблюдается условие

= R×T = const и r = .

В этом случае, учитывая постоянство температуры (T = const),

= = R×T× = R×T×ln .

Тогда для изотермного процесса уравнение Бернулли примет вид

g×z₀ R×T₀×ln p₀ = g×z R×T×ln p g×h_пот. (23.6)

Потери энергии при движении жидкости зависят от режима движения жидкости.

Фундаментальные исследования вопроса о режимах движения жидкости были выполнены английским учёным Осборном Рейнольдсом в 1883 – 1885 годах на специальной опытной установке, схема которой показана на рис. 45. В цилиндрическую стеклянную трубку через плавный коноидальный вход жидкость подается из резервуара 1, где она успокаивается с помощью системы решеток. Резервуар (бак) 1 достаточно больших размеров. Высота уровня жидкости в баке поддерживается постоянной. В конце стеклянной трубы 2 установлен кран 3 для регулирования расхода потока. Измерение расхода выполняется с помощью мерного бака 4 и секундомера.

Во входной участок трубы через тонкую трубочку 5 из сосуда 6 подается подкрашенная жидкость с плотностью и скоростью истечения, близкими к этим же характеристикам потока жидкости в трубе. Расход краски регулируется краном 7. Подкрашенная струйка жидкости позволяет визуализировать (сделать видимой) структуру потока в трубе.

1 – резервуар (бак); 2 – стеклянная трубка; 3 – кран для регулирования расхода потока; 4 – мерный бак; – 5 – трубка для подачи подкрашенной жидкости; 6 – сосуд с раствором подкрашенной жидкости; 7 – кран для регулирования подачи подкрашенной жидкости; 8 – кран на мерном баке

Рисунок 45 – Установка Рейнольдса для изучения режимов движения жидкости

При небольших значениях скорости v подкрашенная струйка имеет вид нити с четко очерченными границами. Жидкость движется отдельными не перемешивающимися слоями (рис. 46, а).

Движение жидкости, при котором отсутствуют изменения (пульсации) местных скоростей, приводящие к перемешиванию жидкости, называют ламинарным (от латинского слова lamina – слой, пластинка).

При больших скоростях окрашенная струйка начинает искривляться и становится волнообразной (рис. 46, б). Это происходит в результате изменений во времени (пульсации) векторов местных скоростей в потоке.

Рисунок 46 – Ламинарное (а) и турбулентное (б, в) движение жидкости

Наличие поперечных пульсаций является отличительной чертой турбулентного течения. Поэтому появление поперечных колебаний окрашенной струйки жидкости служит указанием на переход ламинарного режима в турбулентный.

При дальнейшем увеличении скорости потока струйка распадается на отдельные хорошо видные вихри, происходит перемешивание окрашенной струйки со всей массой текущей жидкости. На небольшом расстоянии от входа (10…20 диаметров трубы) поток оказывается равномерно окрашенным (рис. 46, в).

Движение жидкости, при котором происходят изменения (пульсации) местных скоростей по величине и по направлению, приводящие к перемешиванию жидкости называют турбулентным(от латинского слова turbulentus – беспорядочный, бурный).

Рейнольдс установил, что переход от ламинарного течения к турбулентному и наоборот определяется средней скоростью течения v, характерным поперечным размером потока L, физическими свойствами жидкости: плотностью r и вязкостью (динамический коэффициент вязкости h или кинематический коэффициент вязкости n). В общем случае режим движения жидкости определяется безразмерным комплексом, составленным из указанных величин и называемым числом (критерием) Рейнольдса:

Re = = (24.1)

Число Рейнольдса характеризуетотношение сил инерции к силам трения (вязкости).

Переход от одного режима движения в другой объясняется преобладанием силы инерции или силы трения.

В качестве характерного геометрического размера живого сечения потока L чаще всего принимают диаметр трубы d (для круглых напорных труб), для некруглых и безнапорных труб гидравлический радиус R или диаметр эквивалентный . Тогда, соответственно

Re = , = , Re_dэкв =

Скорость потока, при которой происходит смена режима движения жидкости, называется критической. Рейнольдс обнаружил существование двух критических скоростей: верхней критической скорости – при переходе ламинарного режима движения в турбулентный, и нижней критической скорости – при переходе турбулентного режима движения в ламинарный. Соответственно различают верхнееи нижнее критические числа Рейнольдса.

0 Re

Для круглых напорных труб при установившемся равномерном движении жидкости = 2000 … 2320, а = 4000 … 100000.

Значение (переход ламинарного течения в турбулентное) зависит от внешних условий опыта: постоянства температуры, уровня вибрации установки, условий входа в трубку, шероховатости поверхности стенок трубы, состояния жидкости в резервуаре, питающем трубу и т.п. Значение (переход турбулентного движения в ламинарное) от этих величин практически не зависит.

При Re < будет существовать ламинарное (слоистое) движение, причём оно будет устойчиво, то есть искусственно разрушить слоистую структуру (турбулизовать поток), то она восстановится. При больших числах Re > слоистая структура существовать не может. А в диапазоне < Re < ламинарный режим существовать может, но он неустойчив; если слоистая структура разрушается, то вновь она не восстанавливается и режим движения становится турбулентным. Достаточно воздействия малого возмущения, чтобы произошёл переход в турбулентное движение. В практических условиях, где всегда есть источники случайных возмущений, следует считаться только с нижней границей.

Таким образом, в качестве критического числа Рейнольдса принят для цилиндрических напорных труб

Re_кр = = 2000…2320.

Для любого потока по известным v, L и n можно вычислить число Рейнольдса и сравнить его с критическим значением Re_кр. Если Re < Re_кр, то v < и режим движения жидкости ламинарный; если Re > Re_кр, то v > и режим движения турбулентный.

На конфузорных (сужающихся) участках труб значение Re_кр больше, а на расширяющихся участках (диффузорах) Re_кр меньше значения 2000…2320.

Критическое значение числа Рейнольдса, выраженное через гидравлический радиус равно = = 500…580.

В природе и технике турбулентное движение жидкости наблюдается чаще, чем ламинарное. Области ламинарного движения:

· движение очень вязких жидкостей типа масел по трубам и механизмам;

· движение грунтовых вод (но оно может быть также и турбулентным);

· движение в капиллярах (в том числе и движение крови в живых организмах).

При ламинарном движении жидкость движется отдельными, не перемешивающимися слоями.

При турбулентном течении поток несжимаемой жидкости может быть разделён на пограничный вязкий подслой и основную часть потока – турбулентное ядро, с соответствующими преобладающими видами вязкости.

Турбулентный поток по своим свойствам резко отличается от ламинарного. Пульсации векторов местных скоростей в турбулентном потоке влияют на соответствующие потери энергии, входящие в уравнение Бернулли. В результате турбулентного перемешивания величина потерь энергии возрастает и зависит не только от вязкостных свойств, как в случае ламинарного течения, но и от степени турбулизации. При ламинарном режиме потери энергии подлине пропорциональны средней скорости потока v в первой степени, при турбулентном – скорости в степени 1,75…2.

Отличны процессы передачи тепла при ламинарном и турбулентном режимах течения. В первом случае теплообмен происходит только за счёт теплопроводности жидкости; при турбулентном режиме в результате непрерывного поперечного перемещения частиц решающую роль играет теплообмен путём конвекции. Поэтому эффективность теплообмена при турбулентном режиме намного больше, чем при ламинарном.

Наконец, вопрос о двух режимах течения тесно связан с эффектом турбулентной диффузии, когда поперечные перемещения масс жидкости способствуют переносу твёрдых частиц.

Основные отличия ламинарного и турбулентного режима течения, в случае движения в круглом напорном трубопроводе представлены в таблице 23.1.

Таблица 23.1 – Основные отличия ламинарного и турбулентного течения (движение в трубе круглого сечения)

Признак	Ламинарный режим	Турбулентный режим
Число Рейнольдса	Re < Reкр	Re > Reкр
Структура потока	Жидкость движется отдельными не перемешивающимися между собой слоями   Рисунок 47 – Структура потока при ламинарном движении	Структура потока может быть представлена в виде приближенной двухслойной модели (схемы). Вблизи твердой стенки находится очень тонкий (его толщина около 0,01 радиуса трубы ) вязкий подслой, где преобладают силы вязкости. Основная часть потока – турбулентное ядро, где происходят интенсивные пульсации скорости и перемешивание частиц жидкости   Рисунок 48 – Структура потока при турбулентном режиме движения жидкости
Касательные напряжения	Касательные напряжения зависят только от вязкостных свойств жидкости. Рассчитываются по закону вязкого трения Ньютона     где – динамический коэффициент вязкости. Учитывает молекулярную структуру жидкости.	Возникают дополнительные касательные напряжения, вызванные пульсацией потока , которые должны быть добавлены к вязкостным:     где – коэффициент турбулентного перемешивания (турбулентная вязкость). Учитывает особенности турбулентного движения. Не является константой для данной жидкости, так как обусловлен турбулентным перемешиванием частиц. В вязком подслое вязкостное молекулярное трение преобладает в сравнении с турбулентным. В ядре турбулентного потока турбулентная вязкость в десятки раз превышает молекулярную вязкость. Вязкие напряжения не оказывают непосредственного влияния на распределение осредненной скорости.
Распределение скоростей в поперечном сечении потока	В поперечном сечении скорости распределяются по закону параболы с максимальной скоростью umax на оси трубопровода или   где – радиус трубопровода; d – диаметр трубы; – расстояние от оси до данной точки; – динамический коэффициент вязкости; i – гидравлический уклон.       Рисунок 49 – Поле скоростей при ламинарном течении	В вязком подслое скорость резко возрастает от нуля на твердой стенке до (0,6…0,8) v. Профиль скорости изменяется по закону прямой линии     где у – расстояние от стенки трубы до данной точки/ В основном сечении (турбулентном ядре) закон распределения скорости близок к логарифмическому с максимальной скоростью на оси потока. Профиль скорости описывается, например, уравнением Никурадзе     где uдин – динамическая скорость, характеризующая турбулентность потока. Рисунок 50 – Поле скоростей при турбулентном течении
Соотношение средней v и максимальной umax скоростей	Соотношение постоянно. Средняя скорость потока в сечении равно половине максимальной   v = 0,5 × umax	Зависимость между средней и максимальной скоростью не характеризуется постоянным числом, а определяется турбулентностью потока uдин. Зависимость имеет вид   v = umax – 3,75 × uдин.   В большинстве практических случаев это соотношение составляет v = (0,9…0,99) × umax.   Часто округленно принимают v = 0,9 × umax.
Потери энергии на трение по длине трубопровода	Потери энергии на трение пропорциональны средней скорости потока в первой степени (n = 1)	Потери энергии по длине пропорциональны средней скорости потока в степени n = (1,75 …2)

При движении реальной жидкости часть энергии потока теряется на преодоление сил трения. При равномерном движении в трубах потери удельной энергии на трение по длине (линейные потери) как при ламинарном, так и при турбулентном движении определяют для круглых труб по формуле Дарси-Вейсбаха:

· потери напора, м

Dh_тр= l×× ;(28.1)

· потери давления, Па

Dр_тр= l××r× ,(28.2)

где – коэффициент гидравлического трения (коэффициент Дарси), безразмерный;

– длина трубопровода, м;

– диаметр трубопровода, м;

r– плотность жидкости, кг/м³;

v – средняя скорость течения жидкости в сечении потока, м/с.

Для труб любой формы сечения формула Дарси-Вейсбаха имеет вид:

· потери напора, м

Dh_тр = l×× = l×× ; (28.1, а)

· потери давления, Па

Dр_тр = l××r× = l××r× , (28.1, б)

где d_экв – эквивалентный диаметр рассматриваемого участка трубы(канала), м;

R – гидравлический радиус рассматриваемого участка трубы(канала), м.

Из приведенных формул следует, что линейные потери возрастают с увеличением средней скорости потока и длины рассматриваемого участка и обратно пропорциональны диаметру. Коэффициент гидравлического трения l учитывает влияние на потерю энергии по длине физических свойств жидкости (плотности и вязкости h, n) и шероховатости (состояния) внутренних стенок трубопровода k_э. Коэффициент Дарси зависит также от диаметра трубопровода d, и средней скорости движения жидкости v. В общем случае коэффициент зависит от двух безразмерных параметров – числа Рейнольдса Re и относительной шероховатости :

l = f ,

где – абсолютная эквивалентная шероховатость стенок трубы, м.

Под абсолютной эквивалентной шероховатостью k_э понимают такую воображаемую (условную) равномерную шероховатость, при которой потери напора равны потерям в реальном трубопроводе при тех же условиях течения.

При ламинарном режиме течения жидкости (Re < Re_кр) коэффициент гидравлического трения зависит только от числа Рейнольдса и определяется в круглых трубах по формуле:

l = , (28.3)

а для труб любой формы сечения – по формуле

l = , (28.4)

где А – коэффициент, численное значение которого зависит от формы поперечного сечения трубы.

При турбулентном течении (Re > Re_кр) коэффициент гидравлического трения определяется по различным формулам, в зависимости от зоны сопротивления. Численной характеристикой зоны сопротивления является критерий зоны турбулентности – произведение числа Рейнольдса и относительной шероховатости:

. (28.5)

По наиболее распространенной гипотезе Прандтля турбулентный поток (Re > Re_кр) делят на турбулентное ядро и вязкий подслой. Толщина вязкого подслоя зависит от числа Рейнольдса. При относительно небольших скоростях (небольших числах Re) толщина вязкого подслоя значительно больше выступов шероховатости ( >>k_э). Вязкий подслой полностью закрывает все выступы шероховатости, и жидкость обтекает их без образования и отрыва вихрей (рис. 51, а). В результате влияние шероховатости на коэффициент гидравлического трения и, соответственно, на потери напора по длине будет пренебрежимо мало. Эта зона турбулентного движения жидкости называется зоной гидравлически гладких труб. Критерий зоны турбулентности меньше 10 . Коэффициент гидравлического сопротивления определяется по формуле Блазиуса:

l = (28.6)

Рисунок 51

С увеличением числа Рейнольдса толщина вязкого подслоя уменьшается. В этом случае толщина вязкого подслоя соизмерима с высотой выступов шероховатостей ( » k_э). Вязкий подслой не полностью закрывает их, и от бугорков шероховатостей начинают отрываться вихри (рис. 51 б). Влияние выступов шероховатости на потери напора увеличивается. В этой зоне смешанного сопротивления, то есть области перехода от гидравлически гладких к гидравлически шероховатым трубам коэффициент зависит и от числа Рейнольдса и от относительной шероховатости. Критерий зоны турбулентности находятся в пределах от 10 до 500 . Коэффициент Дарси определяют по формуле Альтшуля:

l = 0,11 × (28.7)

При очень больших числах Рейнольдса толщина вязкого подслоя стремится к нулю ( ®0) и турбулентное ядро потока практически полностью захватывает выступы шероховатости стенок (рис. 51, в). В этой зоне гидравлически шероховатых труб (автомодельная область или область квадратичной зависимости) коэффициент зависит только от относительной шероховатости внутренних стенок трубопровода. Критерий зоны турбулентности больше 500 . Коэффициент определяют по формуле Шифринсона:

l = 0,11 × (28.8)

Местными сопротивленияминазывают короткие участки трубопровода, на которых вектор средней скорости изменяется по величине и (или) направлению.Это всегда связано с появлением дополнительных потерь энергии.

Можно выделить такие основные виды местных сопротивлений.

1. Сопротивления, связанные с изменением величины средней скорости (живых сечений) потока. Сюда следует отнести случаи внезапного, а также постепенного расширения или сужения потока (переходы, раструбы, диффузоры, конфузоры, отверстия и пр.).

2. Сопротивления, связанные с изменением направления скоростей (изогнутые участки труб – колена, отводы, повороты и др.).

3. Сопротивления, связанные со слиянием и разделением потока (тройники, крестовины).

4. Сопротивления, связанные с течением через трубопроводную арматуру (например, вентили, задвижки, клапаны, сетки).

5. Сопротивления на участке выравнивания (стабилизации) потока.

Сопротивления, связанные со слиянием и разделением потока, а также с протеканием через арматуру, включают в себя элементы первых двух видов сопротивлений.

Сопротивления на участке стабилизации потока чаще всего рассматривают как часть данного местного сопротивления.

Потери удельной энергии на местных сопротивлениях оценивают общей формулой Вейсбаха:

· потери напора, м

Dh_м = z× ; (29.1)

· потери давления, Па

Dр_м = z×r× , (29.2)

где v – средняя скорость в сечении, обычно после местного сопротивления, м/с;

z – коэффициент местного сопротивления, безразмерный;

r – плотность жидкости, кг/м³;

g – ускорение силы тяжести, м/с².

В общем случае коэффициент местного сопротивления z зависит вида местного сопротивления, его геометрической формы и размеров препятствий на пути потока (геометрии потока) и от числа Рейнольдса.

При очень малых числах Рейнольдса жидкость течёт через местные сопротивления без отрыва. Потери удельной энергии обусловливаются непосредственным действием сил вязкого трения и пропорциональны скорости потока в первой степени. Коэффициент местного сопротивления связан с числом Рейнольдса зависимостью

z = ,

где А – справочный коэффициент, зависящий от вида местного сопротивления и степени стеснения потока.

С увеличением числа Рейнольдса значения коэффициента местного сопротивления z возрастают. Это объясняется тем, что при турбулентном течении наряду с потерями на трение возникают потери удельной энергии, обусловленные отрывом потока и образованием вихрей. Для ориентировочной оценки коэффициентов местных сопротивлений при относительно небольших значениях числа Рейнольдса может служить формула:

z = z_кв , (29.3)

где z_кв – коэффициент сопротивления в автомодельной области.

При достаточно больших числах Рейнольдса вихреобразование приобретает основное значение, потери энергии становятся пропорциональны квадрату скорости, так как коэффициент местного сопротивления z перестаёт зависеть от числа Рейнольдса и определяется только видом местного сопротивления и геометрией потока. Это квадратичная или автомодельная область сопротивления. Можно сказать, что при резких переходах в местных сопротивлениях коэффициент z не зависит от значения числа Рейнольдса при Re ³ 3000, а при плавных очертаниях – при Re > 10¢000.

Для упрощения расчёта трубопроводов часто используют понятие эквивалентной длины местного сопротивления l_экв. Это участок данного трубопровода такой длины, на котором потери напора по длине равны рассматриваемым местным потерям напора:

Dh_м =Dh_{тр экв.};

z× = l××

или

= z× .

В местных сопротивлениях имеют место дополнительные потери напора, которые определяются по формуле Вейсбаха (29.1) или (29.2):

· потери напора, м

Dh_м = z× ;

· потери давления, Па

Dр_м = z×r× ,

где v – средняя скорость в сечении, обычно после местного сопротивления, м/с;

z – коэффициент местного сопротивления, безразмерный;

r – плотность жидкости, кг/м³;

g – ускорение силы тяжести, м/с².

При развитом турбулентном режиме течения в автомодельной области коэффициент zот числа Рейнольдса не зависит, а зависит от вида местного сопротивления, его геометрической формы и размеров препятствий на пути потока (иначе, геометрии потока).

Рассмотрим некоторые случаи местных гидравлических сопротивлений при турбулентном течении в автомодельной области и напорном движении.

1. Внезапное расширение трубопровода (рис. 52). Сечение трубопровода внезапно расширяется от площади w₁ до площади w₂. В месте расширения поток отрывается от твёрдых стенок, образуя транзитную струю, которая постепенно расширяется. На некотором расстоянии от кромки расширения транзитная струя заполнит сечение w₂. Между стенкой трубы и поверхностью транзитной струи жидкость медленно вращается, образуя водоворотную область. На границе между транзитной струёй и водоворотной областью происходит интенсивное вихреобразование. В связи с интенсивным вихреобразованием на границе транзитной струи и последующим гашением вихрей, происходят потери удельной энергии при внезапном расширении, которые можно определить по формуле Вейсбаха (29.1) или (29.2).

Коэффициенты сопротивления при внезапном расширении потока определяются следующими выражениями:

· коэффициент, отнесённый к средней скорости v₁ в сечении 1-1 (до местного сопротивления)

z_в.р.1 = ; (30.1)

· коэффициент, отнесённый к средней скорости v₂ в сечении 2-2 (после местного сопротивления)

z_в.р.2 = . (30.2)

где w₁ – площадь поперечного сечения трубопровода до расширения, м²;

w₂ – площадь поперечного сечения трубопровода после расширения, м².

Рисунок 52 – Внезапное расширение Рисунок 53 – Диффузор

При Re > 5×10³ коэффициенты сопротивления при внезапном расширении зависят только от отношения площадей w₁ и w₂.

Потери удельной энергии при внезапном расширении трубопровода могут быть определены также по формуле Борда:

· потери напора, м

Dh_в.р. = ; (30.3)

· потери давления, Па

Dр_в.р. = r× , (30.4)

где v₁ – средняя скорость в сечении до местного сопротивления, м/с;

v₂ – средняя скорость в сечении после местного сопротивления, м/с;

a – коэффициент Кориолиса.

Потери напора при внезапном расширении равны скоростному напору, соответствующему потерянной скорости (v₁ – v₂).

Если принять a = 1, формулы (30.3) и (30.4) принимают вид:

· потери напора, м

Dh_в.р. = ; (30.3, а)

· потери давления, Па

Dр_в.р. = r× , (30.4, б)

2. Постепенное расширение (диффузор) (рис. 53).Потери удельной энергии в диффузорах разделяют на потери, связанные с постепенным расширением сечения и потери на трение по длине диффузора. Соответственно коэффициент сопротивления диффузора z_д условно делится на коэффициенты сопротивления постепенного расширения z_п.р. и по длине z_дл.:

z_д = z_п.р. z_дл. = k_д×z_в.р. z_дл..

Вследствие малости потерями удельной энергии по длине диффузора часто пренебрегают (z_дл. » 0). Поэтому принимаем, что коэффициент сопротивления диффузора равен коэффициенту сопротивления на постепенное расширение (z_д = z_п.р.).

Коэффициенты сопротивления диффузора обычно относят к скорости в первом сеченииv₁ (до местного сопротивления). Тогда коэффициент сопротивления диффузора равен:

z_д = k_д×z_{в.р. 1} = k_д× . (30.5)

где k_д – коэффициент смягчения диффузора;

Коэффициент смягчения диффузора k_д учитывает уменьшение потерь энергии на диффузоре по сравнению с внезапным расширением при том же соотношении сечений соединяемых труб. Коэффициент k_д находится по справочным таблицам в зависимости от углаконусностидиффузораQ.

Потери удельной энергии на диффузоре по формуле Борда (при a = 1) равны:

· потери напора, м

Dh_в.р. = k_д× ; (30.6)

· потери давления, Па

Dр_в.р. = k_д×r× , (30.7)

В зависимости от угла конусности движение в диффузоре может быть безотрывным (при Q < 8⁰…10⁰), либо может происходить отрыв потока от стенок на части длины диффузора (при ~ 10⁰ < Q < 50⁰…60⁰). Полный отрыв потока от стенок по всей длине диффузора наблюдается при Q > 50⁰…60⁰. Отрыв бывает несимметричным и даже односторонним. Наивыгоднейший угол конусности изменяется в пределах от 5⁰до 8⁰.

3. Внезапное сужение (рис. 54). При внезапном сужении за кромкой сужения происходит отрыв потока от стенки и образование транзитной струи, которая сначала испытывает сжатие, а затем расширение. Между твёрдой стенкой и поверхностью транзитной струи образуется водоворотная зона. Образуются вихри, которые в результате обмена жидкостью между водоворотной зоной и транзитной струёй проникают в поток, где гасятся трением. В результате работы сил трения часть механической энергии потока переходит в теплоту. Потери удельной энергии равны:

Dh_в.с. = z× или Dр_в.с = z_в.с×r× .

Рисунок 54 – Внезапное сужение Рисунок 55 – Конфузор

Коэффициент местного сопротивления на внезапном сужении z_в.с при Re > 1´10⁴ зависит только от отношения площадей . Значение коэффициента z_в.с можно определить по формуле

z_в.с. = (30.8)

где e – коэффициент сжатия струи.

Коэффициент сжатия струи равен отношению минимального живого сечения потока w_с к площади трубопровода меньшего сечения w₂

e = , (30.9)

где w_с – минимальное живое сечение потока;

w₂ – площадь трубопровода меньшего сечения w₂ (после местного сопротивления).

Коэффициент сжатия струи e зависит от степени сжатия потока n и его можно оценить по эмпирической формуле:

e = 0,57 . (30.10)

где n – степень сжатия потока.

Степень сжатия потока n представляет собой отношение площади трубопровода меньшего сечения w₂ (после местного сопротивления) к площади трубопровода большего сечения w₁ (до местного сопротивления):

n = . (30.11)

4. Постепенное сужение (конфузор) (рис. 55). При движении жидкости в конфузоре скорость потока вдоль трубопровода возрастает, а давление уменьшается. Так как жидкость движется от большего давления к меньшему, то причин для срыва потока (как это имело место в диффузоре) в конфузоре меньше. Отрыв потока от стенок с небольшим сжатием возможен на выходе из конфузора. Поэтому сопротивление конфузора всегда меньше сопротивления диффузора с теми же геометрическими характеристиками.

Потери удельной энергии в конфузоре складываются из потерь на постепенное сужение сечения и потерь на трение по длине конфузора. Соответственно коэффициент сопротивления конфузора z_к условно делится на коэффициенты сопротивления постепенного сужения z_п.с. и по длине z_дл.:

z_к = z_п.с. z_дл. = k_к×z_в.с. z_дл..

Вследствие малости потерями удельной энергии по длине конфузора часто пренебрегают (» 0). Поэтому принимаем, что коэффициент сопротивления конфузора равен коэффициенту сопротивления на постепенное сжатие (z_к = z_п.с.).

Коэффициент сопротивления конфузора z_к равен:

z_к = k_к×z_в.с. = k_к× , (30.12)

где k_к – коэффициент смягчения конфузора.

Коэффициент смягчения конфузора k_к учитывает уменьшение коэффициента z_в.с., а следовательно, потерь энергии на конфузоре по сравнению с внезапным сужением при том же соотношении сечений соединяемых труб. Коэффициент k_к зависит от углаконусностиконфузораQ.

5. Поворот (рис. 56). В результате искривления потока на вогнутой стороне внутренней поверхности трубы давление больше, чем на выпуклой. В связи с этим в направлении течения создаются различия в скорости, способствующие отрыву потока от стенок. Это приводит сначала к сужению струи, а затем – далее по течению – к её расширению. При этом возникают значительные потери удельной энергии.

Рисунок 56 – Поворот

При резком повороте трубы, который называется также простым или острым коленом (незакруглённое колено), потери удельной энергии особенно велики. Для гладких стенок труб с круглым и квадратным поперечным сечением при Re > 2´10⁵ коэффициент сопротивления поворота z_{пов. р.} зависит только от угла поворота Q.

При плавном повороте трубы (закруглённое колено, отвод) вихреобразование уменьшается и потери удельной энергии будут значительно меньше. Коэффициент сопротивления поворота z_пов. зависит от угла поворота, а также от отношения радиуса закругления R_п к диаметру трубы d и от величины коэффициента гидравлического трения l.

Коэффициент сопротивления при плавном повороте трубопровода на произвольный угол Q определяется по формуле:

z_пов. = а×z₉₀, (30.13)

где а – справочный коэффициент, зависящий от угла поворота;

z₉₀ – коэффициент местного сопротивления при плавном повороте трубы на 90⁰.

Коэффициент местного сопротивления при плавном повороте трубы на 90⁰ определяют по эмпирической формуле Альтшуля:

z₉₀ = , (30.14)

где d – диаметр трубопровода, м;

R_п – радиус закругления трубы, м;

l – коэффициент гидравлического трения.

Если трубопровод длиной l имеет на всём протяжении одинаковый диаметр, а движущаяся по этому трубопроводу жидкость (или газ) встречает n местных источников гидравлических сопротивлений, то суммарные потери напора определяются по формуле

h_пот = Dh_тр = × . (31.1)

Суммарные потери давления определяются выражением:

р_пот = Dр_тр = ×r× . (31.2)

Выражение, заключённое в скобках, называется коэффициентом сопротивления системы z_сист

z_сист = . (31.3)

Тогда можно записать

h_пот = z_сист× или р_пот = z_сист×r× .

Если трубопровод состоит их нескольких k участков с различными диаметрами, и на каждом из участков имеются местные сопротивления, то общие потери напора определяются по формуле:

h_пот = , (31.4)

где n – общее число местных сопротивлений.

Общие потери напора в системе труб или русел равны арифметической сумме потерь напора по длине отдельных участков и всех потерь, вызванных отдельными местными сопротивлениями. Этот метод определения суммарных потерь называется принципом наложения потерь напора

Аналогично определяются общие потери давления в системе:

р_пот = . (31.5)

Для удобства расчётов рекомендуется выразить все скорости через одну скорость на любом участке трубопровода, например на последнем, k-м (v_k). Тогда следуя уравнению неразрывности v_i×w_i = v_k×w_k и v_i = v_k× .

Получаем

· общие потери напора в системе равны

h_пот =

×

или

h_пот = z_сист× ;

· общие потери давления в системе равны

р_пот =

×r×

или

р_пот = z_сист×r× .

Суммирование потерь напора (или давления) возможно лишь, когда между местными сопротивлениями расстояние больше длины зоны влияния. За пределами зоны влияния кинематические характеристики потока принимают вид, характерный для невозмущённого потока. Иначе, между местными сопротивлениями, возмущающими поток, должны быть участки стабилизации эпюры скоростей, на которых кривая распределения скоростей принимает вид, соответствующий установившемуся равномерному движению жидкости (газа). Длина стабилизирующего прямолинейного участка в зависимости от конкретных условий составляет (10…30) d (d – диаметр трубопровода), а иногда (30…60) d и более.

Расположение конструктивных элементов (местных сопротивлений) на расстоянии, меньшем длины зоны влияния, приводит к их интерференции (взаимному влиянию). Интерференция приводит к тому, что суммарный коэффициент z_{м сум} может быть и меньше, и больше арифметической суммы коэффициентов каждого из сопротивлений z_мi. Метод наложения потерь даёт ошибочные результаты. В этом случае общие потери удельной энергии определяют на основе экспериментальных (опытных) данных.

Тема 32 КАВИТАЦИЯ В МЕСТНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЯХ

На участках многих местных сопротивлений при изменении сечения скорость потока резко возрастает, а давление в нём уменьшается. Если давление становится меньше давления насыщенных паров жидкости р_н.п., то в этом сопротивлении возникает кавитация. Кавитация возникает при движении жидкости в трубах и при внешнем обтекании тел, в частности, на лопастях гребных винтов, рабочих колёс паровых турбин и насосов.

Появление кавитации всегда вызывает увеличение сопротивления, то есть дополнительных потерь энергии. Кроме того, она приводит к вибрации, эрозионному разрушению материала и появлению кавитационных шумов.

Кавитация возникает, когда абсолютное давление потока р уменьшается практически до давления насыщенных паров жидкости р_н.п.. При этом нарушается сплошность потока. В зоне пониженного давления жидкость ²вскипает², так как идёт интенсивное выделение (образование и схлопывание) пузырьков, заполненных парами жидкости и растворёнными в ней газами.

Кавитационные свойства местных сопротивлений выражают с помощью безразмерного числа кавитацииk :

k = , (32.1)

где v₁ – средняя скорость потока в сечении трубопровода перед местным сопротивлением;

р₁ – абсолютное давление в сечении трубопровода перед местным сопротивлением;

р_н.п. – давление насыщенных паров жидкости.

При снижении р₁ или увеличении v₁ число кавитации уменьшается, достигая в некоторого значения, которое отвечает возникновению кавитации – критическое число кавитации k_кр. Величина k_кр определяется главным образом геометрической формой местного сопротивления, от которой в основном зависит распределение скоростей и давлений в потоке. Для данного местного сопротивления число k_кр зависит от числа Рейнольдса Re; в квадратичной зоне сопротивления k_кр= const.

Последствия кавитации настолько существенны, что соответствующее оборудование рассчитывают так, чтобы кавитация не возникала.

Если известно значение критического числа кавитации k_кр то предельно допустимую скорость в трубопроводе перед местным сопротивлением определяют по формуле

v_пр £ . (32.2)

Значения k_кр в большинстве случаев удаётся найти с необходимой точностью только опытным путём.

Малым называется отверстие, в разных точках которого геометрический напор Н[1] практически одинаковый. При выполнении этого условия скорости на верхней и нижней границах вытекающей из отверстия струи можно считать одинаковыми. Для малого отверстия, расположенного в вертикальной плоскости наибольший вертикальный размер S не превышает 0,1 Н (S£ 0,1 Н).

Тонкой называют стенку, если её толщина не влияет на условия истечения. Вытекающая жидкость касается только кромки отверстия. Струя, вытекающая из отверстия, преодолевает лишь местные сопротивления. Это может быть обеспечено либо при толщине стенки d £ (0,2…0,5)×d, либо срезом кромок под острым углом (при d < 3d). У тонкой стенки отверстие имеет острую кромку.

Рассмотрим истечение жидкости плотностью r из резервуара через малое незатопленное отверстие диаметром d. Глубина погружения центр тяжести отверстия под уровень свободной поверхности (напор) равна Н.

Истечение происходит при постоянном напоре. При постоянном напоре скорости истечения будут неизменны во времени, то есть движение будет установившимся.

Пусть свободная поверхность жидкости в резервуаре находится под давлением р₀. истечение происходит в газовую среду с давлением р_с через незатопленное отверстие с острой кромкой (рис. 58).

Траектории частиц при приближении к отверстию искривляются. Действующая центробежная сила направлена внутрь формирующейся струи. Сечения струи постепенно уменьшаются. Сжатие продолжается и на некотором расстоянии от плоской стенки после выхода струи из резервуара. Движение жидкости на этом участке вблизи стенки неравномерно. Живые сечения потока на этом участке криволинейные, постоянно уменьшающиеся. По мере удаления от отверстия кривизна линий тока уменьшается, и на некотором расстоянии от стенки движение приближается к плавно изменяющемуся.

Рисунок 58

Ближайшее к отверстию сечение струи, в котором движение может быть принято плавно изменяющимся (течение приобретает почти параллельно-струйный характер) называется сжатым сечением. Для круглых отверстий сжатое сечение (сечение С–С) находится на расстоянии примерно [l » (0,5…1)×d] от внутренней поверхности стенки резервуара.

Скорости во всех точках сжатого живого сечения С–С можно считать параллельными и в силу малости отверстия одинаковыми, равными v_c.

Коэффициент сжатия струи есть отношение площади сжатого живого сечения w_с к площади отверстия w:

e = (34.1)

Ниже сжатого сечения площади живых сечений струй изменяются слабо, и жидкость движется в виде компактной струи. На достаточно большом расстоянии от отверстия в связи с насыщением струи воздухом (аэрация) струя начинает дробиться и теряет компактность.

Чтобы получить формулы для определения скорости и расхода, составим уравнение Бернулли для сечений А–А и С–С (в резервуаре и сжатом сечении струи соответственно). Горизонтальную плоскость сравнения проведём через центр сжатого сечения. Тогда

Н a₀× = 0 a_с× h_пот. (34.2)

Потери удельной энергии (в данном случае потери на острой кромке) выразим как

h_пот = z_ос× ,

где z_ос – коэффициент сопротивления при истечении из отверстия в тонкой стенке с острой кромкой.

Перенеся известные величины в левую часть уравнения (34.2), получим

Н = × – a₀× .

Учитывая, что по уравнению неразрывности v_c ´ w_с = v₀ ´ w₀ или, с учётом уравнения (34.1) v_c×e×w = v₀×w₀ (w₀ – площадь сечения резервуара А–А), имеем

Н = × .

Отсюда в общем случае средняя скорость истечения (в сжатом сечении) равна:

v_c = × .

или

v_c = j₀× . (34.3)

где j₀ – коэффициент скорости.

j₀ = . (34.4)

Коэффициент скорости j₀отражает влияние распределения скоростей в сжатом сечении (коэффициент Кориолиса a_с), потерь напора (коэффициент z_ос) и соотношение площадей в сжатом сечении w_с и в сечении резервуара А–А w₀ .

Определим расход истекающей жидкости с учётом выражения (34.1)

Q = w_с×v_c = e×w×v_c.

Используя выражение (34.3), получаем

Q = e×w×j₀× .

Произведение коэффициента сжатия e и коэффициента скорости j₀ называется коэффициентом расхода m₀:

m₀ = e×j₀. (34.5)

Окончательно имеем

Q = m₀×w× . (34.6)

В большинстве случаев на практике происходит истечение в атмосферу (р_с = р_бар) из сосудов или резервуаров, на свободной поверхности которых р₀ = р_бар, то есть р_с = р₀ = р_бар.

При р_с = р₀ формулу для средней скорости в сжатом сечении (истечения) (34.3)

получают в виде

v_c = j× , (34.7)

где Н₀ = Н a₀× – напор с учётом скоростиподходаv₀;

j – коэффициент скорости.

j = . (34.8)

Коэффициент скорости jотражает влияние распределения скоростей в сжатом сечении (коэффициент Кориолиса a_с) и потерь напора (коэффициент z_ос).

Для расхода запишем

Q = w_с×v_c.

С учётом формул (34.1) и (34.7) имеем

Q = e×w×j× .

Коэффициент расхода m равен произведению коэффициента сжатия e и коэффициента скорости j:

m = e×j. (34.9)

Получаем выражение для расхода истекающей жидкости:

Q = m×w× . (34.10)

В невязкой (идеальной) жидкости сопротивления отсутствуют: h_пот = 0; z_ос = 0; a_с = 1; j = 1. При движении вязкой жидкости имеются потери удельной энергии: h_пот ¹ 0; z_ос > 0; a_с > 1; j < 1. Обычно условно принимается a_с = 1, хотя распределение скоростей в пределах сжатого сечения, строго говоря, неравномерное.

В тех случаях, когда можно пренебречь влиянием соотношения площадей w_с = e×w к w₀ или влиянием скоростного напора a₀× , в расчётах используется только коэффициент скорости j (формула 34.8) и коэффициент расхода m (формула 34.9). Тогда основные расчётные формулы принимают вид

v_c = j× ; (34.11)

Q = m×w× . (34.12)

Коэффициент скорости jхарактеризует уменьшение скорости истечения реальной жидкости по сравнению со скоростью истечения в таких же условиях идеальной жидкости. Уменьшение скорости происходит вследствие потерь напора при прохождении жидкости через отверстие, а также вследствие потерь напора, имеющих место при расширении сжатой струи. Численно коэффициент скорости определяется как отношение действительной скорости истечения реальной жидкости к теоретической скорости (максимально возможной) v_max = , характеризующей истечение идеальной жидкости

j = = , (34.13)

где v_max – максимальная (теоретическая) скорость истечения идеальной жидкости.

v_max = . (34.14)

Коэффициент расхода m характеризует уменьшение расхода реальной жидкости по сравнению с расходом в таких же условиях идеальной жидкости.

Коэффициент расхода равен отношению действительного расхода, соответствующего истечению реальной жидкости, к теоретическому (максимальному) расходу истечения в таких же условиях идеальной жидкости

m = = . (34.15)

Для вычисления площади, скорости и расхода струи необходимо знать коэффициенты, характеризующие истечение: сжатия струи e, скорости j, и расхода m. Значения этих коэффициентов зависят от:

· формы и кромки отверстия;

· режима движения жидкости;

· поверхностного натяжения;

· положения отверстия относительно стенок резервуара.

Значение коэффициента сжатия e = для заданного отверстия зависит от степени сжатия струи.

Полное сжатие характеризуется тем, что струя вытекающей жидкости испытывает сжатие по всему периметру отверстия.

Неполное сжатие характеризуется тем, что струя подвергается сжатию только на некоторой части периметра.

Неполное сжатие может наблюдаться, например, когда отверстие в вертикальной или наклонной стенке резервуара примыкает непосредственно к дну (отсутствие сжатия по одной из сторон) или отверстие примыкает к дну и расположено в углу резервуара (отсутствует сжатие по двум сторонам) (рис. 59, а).

Рисунок 59 – Сжатие струи

В связи с этим при одинаковой площади отверстия и прочих равных условиях площадь сечения, сжатого на некоторой части периметра w_снеп., больше, чем площадь сечения, сжатого по всему периметру w_{с пол.} (w_снеп. > w_{с пол.}). Отсюда получается, что при неполном сжатии коэффициент сжатия e_неп. больше, чем при полном сжатии e_пол. (e_неп. > e_пол.).

При полном сжатии различают совершенное и несовершенное сжатие.

Сжатие будет совершенным, если расстояния от любой грани отверстия до стенок и дна резервуара (сосуда) будут больше, чем утроенный соответствующий поперечный размер отверстия, то есть при l₁ > 3 b и l₂ > 3 S (рис. 59, б). Совершенное сжатие характеризуется наибольшей кривизной траекторий крайних струек вытекающей струи и соответственно, максимальным сжатием струи.

Несовершенное сжатие наблюдается, если расстояния от любой грани отверстия до стенок и дна резервуара (сосуда) будут меньше, чем утроенный соответствующий поперечный размер отверстия, то есть при l₁ < 3 b и l₂ < 3 S (рис. 59, в).

При несовершенном сжатии кривизна траекторий частиц вблизи отверстия меньше, чем при совершенном сжатии. В связи с этим сжатие по соответствующей стороне (близко расположенной к направляющей поток стенке или дну) уменьшается. Следовательно, площадь сжатого сечения при несовершенном сжатии w_{с нес.}, и при прочих равных условиях больше, чем при совершенном сжатии w_{с сов.} (w_снес. > w_{с сов.}). Соответственно, коэффициент сжатия при несовершенном сжатии e_нес. больше, чем при совершенном сжатии e_сов. (e_нес. > e_сов.).

Неполнота и несовершенство сжатия приводят к увеличению коэффициента сжатия.

При неполном сжатии коэффициент расхода m_неп. больше, чем при полном сжатии m_пол.. При полном, но несовершенном сжатии коэффициент расхода m_нес. больше, чем при коэффициент расхода при совершенном сжатииm_сов.:

m_неп. > m_пол.;

m_нес. > m_сов..

В условиях совершенного сжатия процесс истечения происходит под действием сил тяжести, вязкости и поверхностного натяжения, которые определяются соответственно для круглого отверстия диаметром d:

числом Фруда Fr = ;

числом Рейнольдса Re = ;

числом Вебера We= .

Коэффициенты расхода m при истечении через незатопленные круглые малые отверстия практически не зависят от влияния сил тяжести и поверхностного натяжения ( то есть наступает область, практически автомодельная относительно чисел Фруда и Вебера) при соблюдении условий

Fr = > 10, то есть при > 5 и We = > 2500.

Зависимости коэффициентов сжатия струи e, скорости j, и расхода m при совершенном сжатии от числа Рейнольдса представлены на рис. 60. Как видно, с увеличением Рейнольдса до 1×10⁵ коэффициент скорости j растёт, при дальнейшем увеличении Re значения j могут считаться постоянными и равными 0,97 (j_ос = 0,97).

Коэффициент сжатия струи e с ростом Re уменьшается, а при Re > 1×10⁵ коэффициент e также может считаться постоянным и приниматься равным 0,61…0,64.

Рисунок 60 – Зависимости коэффициентов сжатия струи e, скорости j, и расхода m при совершенном сжатии от числа Рейнольдса Re =

Зависимость коэффициента расхода m от Re достаточно сложная. Вначале при небольших значениях Re коэффициент m растёт, достигая максимума в пределах Re = 500…1000, а затем уменьшается. При Re > 3×10⁵m перестаёт зависеть от числа Рейнольдса (наступает автомодельная область истечения относительно Re). В этих условиях m = 0,6…0,62.

При истечении через отверстие под уровень жидкости отверстие называется затопленным. Рассмотрим истечение через затопленное отверстие (рис. 1) при условии, что положение свободных поверхностей жидкости по обе стороны от отверстия не изменяются во времени, давление на свободной поверхности до отверстия и за ним атмосферное р_бар.

Запишем уравнение Бернулли для сечений А-А и В-В, совпадающих со свободной поверхностью до отверстия и за ним:

z₁ a₁ = = z₂ a₂ Dh_пот.

Плоскость сравнения 0-0 проведем через центр отверстия. Пренебрегая скоростными напорами в сечениях А-А и В-В вследствие их малости получим

z₁ = z₂ Dh_пот

или

z = Dh_пот,

где z – разность (перепад) уровней жидкости до отверстия и за ним. z = z₁ – z₂;

Dh_пот = åz ,

где v_c – средняя скорость в сжатом сечении С-С затопленной струи.

Между сечениями А-А и В-В должны быть учтены потери напора:

а) потери между сечениями А-А и С-С, аналогичные потерям при истечении в атмосферу через малое отверстие с острой кромкой:

h_о.к. = z_о.к. ;

б) потери между сечениями С-С и В-В, связанные с внезапным расширением струи от сжатого сечения до сечения во втором резервуаре, равные:

h_в.р. = a_с ;

Соответственно скорость в сжатом сечении равна:

v_c =

или

v_c = j ,

где j – коэффициент скорости.

Так как площадь струи в сжатом сечении равна w_с = e w, то расход, проходящий через затопленное отверстие равен:

Q = e j w

или

Q = m w ,

где e – коэффициент сжатия струи;

w – площадь отверстия;

m – коэффициент расхода.

Опыты показывают, что коэффициент расхода m при истечении через затопленное отверстие может приниматься равным коэффициенту m для незатопленного отверстия.

Насадком называется короткий патрубок (трубка) определенной формы и длины l, прикрепляемый к отверстию в стенке для изменения характеристик истекающей струи по сравнению с истечением из отверстия.

Обычно насадки имеют длину три – пять диаметров отверстия [l » (3…5) d]. В некоторых случаях используют насадки длиной до 8 d.

При истечении капельной жидкости в газовую среду насадок будет называться незатопленным.

Скорость истечения жидкости v (м/с) и объёмный расход истекающей жидкости Q (м³/с) при истечении через незатопленный насадок определяются по формулам:

v = j × ; (39.1)

Q = m×w× , (39.2)

где Н – напор над центром отверстия, к которому присоединён насадок, м;

w – площадь выходного отверстия насадка, м²;

j – коэффициент скорости, отнесённый к выходному сечению. Зависит от формы и длины насадка;

m – коэффициент расхода, отнесённый к выходному сечению. Зависит от формы и длины насадка.

Коэффициент скорости определяется выражением:

j = , (39.3)

где z – коэффициент местного сопротивления насадка;

a_с – коэффициент Кориолиса. Обычно принимают a_с » 1. Тогда

j = . (39.4)

Коэффициент расхода определяется выражением:

m = e×j. (39.5)

где e – коэффициент сжатия струи. Коэффициент равен отношению поперечного сечения вытекающей струи w_с к площади выходного сечения насадка w. e = .

Поперечное сечение насадков может быть круглым, квадратным и прямоугольным. Широкое применение получили следующие типы насадков: наружный цилиндрический (внешний), внутренний цилиндрический, конический расходящийся, конический сходящийся и коноидальный.

При входе в насадок кривизна линий тока значительна, благодаря чему во входной части происходит сжатие потока. Минимальная площадь поперечного сечения поступательного (транзитного) потока называется сжатым сечение w_с (сечение С – С). За сжатым сечением следует расширение потока до заполнения всего поперечного сечения насадка. Между транзитной струёй и стенкой насадка образуется кольцевая водоворотная зона. В этой зоне понижается давление, создаётся вакуум.

Внешний (наружный) цилиндрический насадок (рис. 65). Широко применяется в технике.

Потери удельной энергии в насадке складываются из потерь при сужении струи до её сжатого сечения (примерно те же, что и при истечении жидкости из отверстия с острой кромкой) z_ос, потерь на расширение струи за сжатым сечением z_расш и потерь на трение по длине насадка z_тр = l× . Суммарный коэффициент сопротивления насадка åz_цн равен

åz_цн = z_ос z_расш z_тр = z_вх z_тр,

где z_вх – коэффициент сопротивления на входе в насадок.

Рисунок 65 – Внешний Рисунок 66 – Истечение из

цилиндрический насадок внешнего цилиндрического насадка

С учётом этого коэффициент скорости j_цн, а, следовательно, и скорость истечения v_цн при равенстве напоров Н и диаметров d для наружного цилиндрического насадка меньше, чем для отверстия в тонкой стенке (j_ос, v_ос). Сравним:

j_ос = и j_цн = .

При Re > 1´10⁴ коэффициенты, характеризующие истечение жидкости (e, j, m) для внешнего цилиндрического насадка уже не зависят от числа Рейнольдса (автомодельная область истечения) и j_цн = 0,82.

Так как струя вытекает из конца насадка полным сечением, то коэффициент сжатия струи e_цн равен единице (e_цн = 1). Тогда коэффициент расхода m_цн = e_цн×j_цн = j_цн.

Максимальное значение коэффициента расхода m_цн = j_цн = 0,82 соответствует длине насадка l = (3…4) d, когда потерями по длине можно пренебречь (z_тр = l× @ 0). Насадок такой длины называется насадком Вентури.

Увеличение коэффициента расхода m, а, следовательно, и расхода Q во внешнем цилиндрическом насадке по сравнению с отверстием в тонкой стенке связано с наличием вакуума в водоворотной зоне. Действующий напор Н увеличивается на значение вакуума в сжатом сечении. Насадок как бы «подсасывает» жидкость по сравнению с истечением из отверстия с острой кромкой и расход, пропускаемый насадком на 32% больше .

Если к зоне сжатия присоединить вакуумметр (рис. 66), то жидкость в обратной пьезометрической трубке поднимется на высоту h_вак @ 0,75×Н.

Внутренний цилиндрический насадок (рис. 67). Это цилиндрический насадок, в силу конструктивных причин установленный внутри резервуара (насадок Борда).

При l > 3 d насадок работает полным сечением (e_цв = 1). В этом насадке жидкость протекает аналогично внешнему цилиндрическому насадку. Однако сопротивление на входе z_вх больше, чем для внешнего цилиндрического насадка. Следовательно, коэффициенты скорости j_цв и расхода m_цв меньше, чем для внешнего цилиндрического. При Re > 1×10⁴ (автомодельная область истечения) работа насадка характеризуется следующими коэффициентами:

m_цв = j_цв = 0,707 @ 0,71.

Рисунок 67 – Внутренний Рисунок 68 – Конический Рисунок 69 – Конический

цилиндрический насадок расходящийся насадок сходящийся насадок

Кроме того, в таком насадке меньше вакуум, а следовательно меньше и расход жидкости.

Конический расходящийся (диффузорный) насадок (рис. 68).

В коническом расходящемся насадке скорость струи в сжатом сечении С–С больше скорости струи на выходе, а давление, согласно уравнению Д. Бернулли, наоборот. Вакуум в сжатом сечении расходящегося насадка больше, чем в сжатом сечении внешнего цилиндрического насадка. С увеличение угла конусности Q растёт и вакуум. Но так как расходящаяся форма наадк4а способствует отрыву потока от его стенок, угол конусности Q не должен быть больше 12⁰. При больших углах струя отрывается от стенок насадка и истечение происходит, как из отверстия в тонкой стенке. Оптимальный угол конусности Q = 5…8⁰.

Потери энергии в коническом расходящемся насадке значительно больше, чем во внешнем цилиндрическом. Это обусловлено тем, что в нём после сжатого сечения С–С расширение струи больше, чем в цилиндрическом. Это приводит к большим потерям напора на внезапное расширение (больше z_вх) и уменьшению скорости.

Сжатия струи в выходном сечении нет и e_кр = 1.

Расход в таком насадке увеличивается благодаря увеличению расчётного выходного сечения. Диаметр выходного сечения D равен:

D = d 2×l× .

Увеличение длины насадка l и угла конусности Q приводит как к увеличению площади выходного сечения w, так и к уменьшению коэффициента расхода m_кр, то есть оказывает противоположное влияние на факторы, определяющие расход через насадок. При длине насадка до 9×d увеличение площади выходного сечения преобладает над уменьшением коэффициента расхода. При l = 9×d и Q = 8⁰коэффициенты расхода и скорости m_кр = e_кр×j_кр = j_кр = 0,45.

Конические расходящиеся насадки применяются при необходимости пропустить относительно большой расход при малых скоростях на выходе или в устройствах, когда необходимо достичь значительного вакуума (водоструйных и пароструйных насосах, гидроэлеваторах и т.п.). Как правило, отсасывающие трубы гидравлических турбин представляют собой расходящиеся насадки.

Конический сходящийся (конфузорный) насадок (рис. 69) – насадок, имеющий форму усечённого конуса, сходящегося по направлению к выходному отверстию.

Струя, выходящая из сходящегося насадка, обладает большой удельной кинетической энергией и большой скоростью на выходе вследствие малой величины гидравлических сопротивлений. Эти насадки применяются в соплах турбин, гидромониторах, пожарных брандспойтах и т.п.

При изменении угла конусности Q изменяются и коэффициенты e, j и m (рис. 70).

Рисунок 70 – Зависимость коэффициентов сжатия e,

скорости j и расхода m от угла конусности Q

Так как струя на выходе из насадка немного сжимается e_кс ¹ 1. Сжатие струи, происходящее на выходе из насадка, оценивается коэффициентом e_кс = 0,98 приQ = 13,4⁰ (Q = 13⁰24¢).

Коэффициент скорости j_кс по мере возрастания угла конусности увеличивается от 0,829 до 0,984 при Q = 49⁰. Этот рост объясняется главным образом уменьшением потерь удельной энергии на внезапное расширение. При угле конусности Q = 13…14⁰ потери удельной энергии на расширение резко уменьшаются, почти исчезают, так как сжатое сечение приближается по величине к выходному. При дальнейшем увеличении угла конусности насадок начинает работать как хорошо оформленное отверстие в тонкой стенке, что также способствует росту j.

Коэффициент расхода m_кс достигает максимального значения, равного 0,946 при Q = 13,4⁰, а затем уменьшается, так как при дальнейшем увеличении Q сжатие на выходе из насадка увеличивается, коэффициент e уменьшается.

Коноидальный насадок (рис. 71) имеет сложную форму. Вход выполняется по форме вытекающей через отверстие струи, а выходной участок цилиндрический. За счёт этого сжатие струи на выходе из насадка отсутствует, e_к = 1. В зависимости от качества обработки внутренней поверхности насадка и потерь удельной энергии коэффициенты m_к = e_к ´ j_к = 0,97…0,99.

Рисунок 71 – Коноидальный насадок

Струя, выходящая из коноидального насадка, обладает ещё большей, чем в сходящемся насадке удельной кинетической энергией, так как гидравлические сопротивления в нём очень малы, а расход (в результате отсутствия сжатия и высокого коэффициента расхода) повышен.

На практике коноидальные насадки часто заменяют коническими сходящимися, более простыми в изготовлении.

При проектировании конструкций, в которых происходит истечение жидкости или газа через отверстия и насадки, необходимо сравнить различные пропускные устройства по проходящему через них расходу и кинетической энергии, соответствующей этому расходу.

При незатопленных отверстиях и насадах скорость истечения жидкости v (м/с) и объёмный расход истекающей жидкости Q (м³/с) определяются по формулам (39.1) и (39.2):

v = j × ; (39.1)

Q = m×w× , (39.2)

где Н – напор над центром отверстия, к которому присоединён насадок, м;

w – площадь выходного отверстия насадка, м²;

j – коэффициент скорости, отнесённый к выходному сечению. Зависит от формы и длины насадка;

m – коэффициент расхода, отнесённый к выходному сечению. Зависит от формы и длины насадка.

Кинетическая энергия проходящего в единицу времени количества жидкости равна

= r×g×m×j²×w×H× ; (40.1)

r – плотность жидкости, кг/м³.

При равенстве напоров Н, площадей отверстия в стенке w и отверстий, к которым присоединены различные насадки w_вх скорость истечения зависит от коэффициента скорости j, расход от коэффициента расхода m, а кинетическая энергия струи от m×j². Осреднённые данные для коэффициентов z, e, j, m, характеризующих истечение при больших числах Рейнольдса сведены в таблицу 40-1.

Таблица 40.1 – Значение коэффициентов, характеризующих истечение в автомодельной области

Наибольшая скорость истечения характерна для коноидального насадка, отверстия в тонкой стенке и конического сходящегося насадка. Большая скорость истечения (и удельная кинетическая энергия струи) при истечении из отверстия по сравнению с внешним цилиндрическим насадком объясняется меньшим сопротивлением z отверстия по сравнению с насадком. Следовательно, коэффициент скорости j = отверстия больше.

Максимальная пропускная способность наблюдается при истечении через коноидальный и конический расходящийся насадки. У конического расходящегося насадка площадь выходного сечения намного больше площади входного отверстия. При длине l конического расходящегося насадка до 9 d (d – диаметр отверстия, к которому присоединён насадок), увеличение площади выходного сечения преобладает над уменьшением коэффициента расхода. При l = 9 d и угле конусности Q =8⁰ коэффициенты скорости и расхода, отнесённые к выходному сечению, равны и составляют примерно 0,45. Площадь выходного сечения в этом случае в 5.1 раза больше площади отверстия. Коэффициент расхода такого насадка лишь в = 1,38 раза меньше коэффициента расхода отверстия. С учётом этого, согласно формуле (39.2), расход через конический расширяющийся насадок будет в 3,7 раза больше, чем через отверстие в тонкой стенке диаметром d. Таким образом, такой насадок может пропускать большой расход при весьма малой скорости на выходе.

Относительно высокой пропускной способностью обладает и внешний цилиндрический насадок. Расход при истечении через внешний цилиндрический насадок больше, чем из отверстия в тонкой стенке, что объясняется наличием вакуума в сжатом сечении насадка, который и создаёт подсос жидкости.

Конический сходящийся насадок, хотя и характеризуется большим коэффициентом расхода m, но имеет небольшую пропускную способность, поскольку площадь выходного сечения у него значительно меньше площади входного отверстия.

Из всех сравниваемых устройств коноидальный насадок характеризуется максимальной удельной кинетической энергией струи. Большую кинетическую энергию имеют также струи, вытекающие из круглого отверстия в тонкой стенке и протекающие через конический сходящийся насадок. Удельная кинетическая энергия струи жидкости, вытекающая из отверстия в тонкой стенке, лишь несколько больше кинетической энергии струи, протекающей через цилиндрический внешний насадок. При этом пропускная способность внешнего насадка значительно выше пропускной способности отверстия в тонкой стенке. Расходящийся насадок отличается минимальным значением скорости в выходном сечении и удельной кинетической энергии струи.

Гидравлическое сопротивление z достигает наибольшей величины при протекании жидкости через конический расходящийся насадок, а наименьшей – через коноидальный.

41. 1 Основные теоретические сведения

Давление условно называется высоким, если при реализации соответствующей ему потенциальной энергии в энергию кинетическую плотность и температура газа, уменьшаясь, претерпевают существенные изменения.

В резервуаре или канале, из которого происходит истечение, давление, плотность, температура и скорость движения газа равны соответственно р₁, r₁, Т₁, v₁.

р, r, Т, v – те же самые параметры у выхода из отверстия (или на срезе сопла). Размеры сосуда настолько велики, что скорость газа внутри сосуда v₁ » 0.

Скорость истечения газа равна:

v = , (41.1)

где k – показатель адиабаты.

Согласно уравнению состояния = R×T₁. Тогда скорость истечения может быть определена

v = .

Из формулы (41.1) следует, что с уменьшением давления вне сосуда, скорость истечения газа растёт, достигая максимального значения при истечении в вакуум (р = 0)

v_max = . (41.2)

Скорость звука а – это скорость распространения упругих колебаний. Она связана с давлением и плотностью среды зависимостью а² = .

Уравнение скорости истечения газа с учётом скорости распространения упругих колебаний запишется

v = а× . (41.1 а)

Максимальная скорость истечения при р = 0 будет равна

v_max = а× . (41.2 а)

Поскольку скорость звука является конечной величиной, запишем уравнение энергии для двух сечений, в одном из которых скорость газа равна нулю, а во втором имеет конечное значение v:

= . (41.3)

Отсюда следует, что максимально возможная, то есть предельная скорость газа достигается в том случае, если скорость звука в этом сечении равна нулю. Тогда

= , = а₀× . (41.4)

Из уравнения энергии определяем а²:

а² = – v²× . (41.3 а)

Отсюда следует, что с увеличение скорости движения газа v, скорость звука убывает. Следовательно, при достаточно большом перепаде давлений в сосуде и окружающей среде может быть достигнуто равенство скоростей потока и скорости звука в этом потоке.

Скорость потока, равная местной скорости звука, называется критической v_кр, а соответствующая скорость звука а_кр.

Скорость движения потока по отношению к скорости распространения упругих колебаний (скорости звука) делится на дозвуковую (v < v_кр) и сверхзвуковую (v > v_кр). Вводится параметр, который характеризует область движения газа – число Маха М

М = . (41.5)

Это безразмерная скорость, которая показывает, во сколько раз скорость потока больше или меньше скорости звука. М > 1 – сверхзвуковая область движения газа, М < 1 – дозвуковая.

Критическая скорость движения газа при заданной температуре в резервуаре Т₁ является постоянной величиной по ходу потока. Поэтому вводят в расчёт критерий скорости – приведенную скорость потока, которая является отношением скорости движения газа в данной точке к критической скорости

L = = . (41.6)

Приведенная скорость вдоль потока является постоянной в отличие от числа Маха.

Тема 42 Течение газа в конфузорах и диффузорах в одномерном приближении (движение газа в трубе переменного сечения)

Для анализа движения газа в каналах с переменным поперечным сечением воспользуемся уравнениями, выражающими закон сохранения массы и закон сохранения энергии. Закон сохранения массы представим в форме уравнения постоянства массового расхода вдоль потока:

Q_m = r× v ×w = const = C. (42.1)

Закон сохранения энергии используем в виде уравнения Бернулли для идеального газа в дифференциальной форме (пренебрегая величиной dz, то есть полагая dz = 0):

v ×dv = 0. (42.2)

Продифференцируем по x уравнение неразрывности (42.1):

= ;

r× v × r×w× v ×w× = 0.

Разделив последнее уравнение на r ´ v ´ w получим:

× × × = 0.

Умножив полученное выражение на dx имеем:

= 0. (42.3)

Преобразуем первый член уравнения (42.2), использовав формулу скорости звука а² = :

= × = а²× .

Подставим полученное соотношение в уравнение (42.2):

а²× v ×dv = 0 или = – .

Последнее равенство подставим в уравнение (42.3). Тогда

– = 0 или = – .

В правой части уравнения вынесем за скобки . Получим

= × .

Обозначим = М – число Маха. Число Маха М – это безразмерная скорость, которая показывает, во сколько раз скорость потока v больше или меньше местной скорости звука а. Окончательно имеем уравнение Гюгонио:

× = . (42.4)

Следствия (анализ) уравнения Гюгонио

1. В дозвуковом потоке (v < а, М < 1) знак dv противоположен знаку dw. То есть при дозвуковом движении газа, так же, как и в случае несжимаемой жидкости, с возрастанием площади сечения трубы скорость движения уменьшается и наоборот.

Рисунок 72

2. В сверхзвуковом потоке (v > а, М > 1) знаки dv и dw одинаковы. Поэтому при уменьшении сечения м скорость движения снижается и наоборот.

Рисунок 73

Это объясняется тем, что произведение r×w из уравнения неразрывности r× v ×w = const несмотря на увеличение w всё же уменьшается ввиду резкого уменьшения плотности газа r. И наоборот, произведение r×w увеличивается, несмотря на уменьшение w вследствие резкого увеличения плотности газа r. Если в дозвуковом потоке при изменении сечения трубы плотность газа изменяется незначительно по сравнению со скоростью, то при сверхзвуковом течении газа относительное изменение плотности превосходит по величине относительное изменение скорости. Возрастание скорости, таким образом, связано не только с изменением давления, но и с уменьшением плотности.

3. Если М = 1, то dw = 0 при w ¹ 0. Тогда соответствующее этому случаю сечение w будет критическим. Равенство dw = 0 означает наличие экстремума площади сечения. Причём этот экстремум означает минимальное сечение, так как при подходе к максимальному сечению дозвуковой поток замедляется и не может достигнуть М = 1, а сверхзвуковой ускоряется, что тоже не соответствует М = 1.

4. Если dw = 0 и сечение экстремально (максимальное или минимальное), то либо М = 1 и, следовательно, это сечение критическое, либо М ¹ 1, а dv =0, так как скорость принимает экстремальное значение. При дозвуковом потоке (М < 1) она максимальна в минимальном сечении и наоборот. В сверхзвуковом потоке (М > 1) она максимальна в максимальном сечении и минимальна в минимальном.

На основе анализа уравнения Гюгонио можно предложить способ получения сверхзвукового потока при истечении газа. К выходному сечению конфузорного насадка, в выходном сечении которого скорость газа равна скорости звука (М =1), присоединяют диффузорный насадок. В выходном сечении диффузора скорость газа может быть существенно больше скорости звука в этом сечении. По этому принципу рассчитывается сопло Лаваля.

Рисунок 74 – Сопло Лаваля

Рассмотрим цилиндрическую трубу с пористыми (массопроницаемыми) стенками. В этих условиях при постоянной площади сечения (w = const) масса движущегося газа будет величиной переменной:

Q_m = r ´ v ´ w = f(x) ¹ const, (1)

где Q_m – массовый расход газа, кг/с;

r – плотность газа, кг/м³;

v – скорость газа, м/с;

w – площадь поперечного сечения сопла.

Продифференцируем уравнение (1) по x и разделим полученное выражение на расход газа в трубе Q_m. Получим

´ = ´ ´ ; (2)

´ = ´ ´ . (3)

Соотношение = – ´ v ´ r ´ , где а – скорость звука, подставляем в выражение (3).

´ = – ´ ´ = ´ ´ .

Обозначим = М – число Маха. Окончательно уравнение принимает вид:

´ = ´ ´ .

Из этого уравнения следует:

1) в дозвуковой области движения газа (М < 1) и имеют одинаковые знаки. Это означает, что подвод газа в трубу вызывает увеличение скорости и наоборот.

2) в сверхзвуковой области движения газа (М > 1) и будут иметь разные знаки. Это означает, что подвод массы газа приводит к уменьшению скорости, а её отвод – к увеличению.

3) М = 1 только при = 0.

Следовательно, чтобы организовать расходное сопло для трансформации дозвуковых скоростей в сверхзвуковые, необходимо подвод газа (m – масса газа) осуществлять на начальном участке сопла и отвод – на конечном. Тогда в некотором критическом сечении, когда = 0 может быть создана скорость газа, равная звуковой (v = а). Если за этим сечением осуществить отсос газа, будет получена сверхзвуковая скорость (v > а) (рис. 75).

Рис. 75 – Схема расходного сопла

Рассмотрим цилиндрическую трубу (площадь поперечного сечения w = const) с теплопроницаемыми стенками (Q_т ¹ const), по которой движется газ с постоянным массовым расходом (Q_m = const).

Для получения уравнения, связывающего изменение теплового потока Q_т по длине сопла и изменение скорости v воспользуемся уравнением состояния:

р = r×R×T,

где r – плотность газа, кг/м³;

R – газовая постоянная;

Т– абсолютная температура газа;

р – абсолютное давление газа.

Дифференцируем это уравнение по x

= R×r× R×T× . (45.1)

Изменение давления по длине по длине выразим из уравнения Эйлера v× = × .

= – r ×v× . (45.2)

Уравнение неразрывности запишется × × = 0. Отсюда выразим :

= – × . (45.3)

Введём в уравнение состояния по длине (45.1) полученные выражения (45.2) и (45.3) для и

– r ×v× = R×r× – × . (45.4)

Преобразуем выражение

v× × = v× × = v× × = v×× =

= R× , (45.5)

где k – показатель адиабаты;

а – скорость звука. a = k×R×Т;

М – число Маха. М = .

На основании первого закона термодинамики имеем

R× = × – ×v× . (45.6)

Подставив эти значения в уравнение состояния получим

× – ×v× = v× ×.

Умножив на k получим окончательную формулу

(k – 1) × = v × ×. (45.7)

Так как (k – 1) всегда положителен, то:

1) Скорость потока в дозвуковой области (М < 1) будет расти, если приход тепла будет возрастать.

2) В сверхзвуковой области (М > 1), когда < 0, скорость будет расти при отводе тепла.

3) В критическом сечении, где М = 1, = 0.

Для трансформации дозвуковых скоростей в сверхзвуковые, необходимо подвод тепла осуществлять на начальном участке сопла. Тогда в некотором критическом сечении может быть создана скорость газа, равная звуковой. Если за этим сечением осуществить отвод тепла, будет получена сверхзвуковая скорость (рис. 76).

Рисунок 76 – Схема теплового сопла

[1] расстояние по вертикали от свободной поверхности жидкости до рассматриваемой точки отверстия