Трубка пито позволяет по высоте столба жидкости измерять полное давление p. статистическое давление р1 в движущейся

u_min = [2g(H – h)]^1/2 ≈ [2gH]^1/2.

Таким образом, можно использовать насос мощностью

N^/ = ρVgH.

2. Водометный катер забирает забортную воду и выбрасывает ее назад со скоростью u = 20 м/с относительно катера. Площадь поперечного сечения струи S = 0.01 м². Найти скорость катера, если действующая на него сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости: F = kv², причем k = 7.5 Н^.с²/м² . (Козел, 1.68)

Ответ: v = 13.4 м/с.

Решение.
Масса воды, которую в единицу времени забирает и выбрасывает катер m_t = ρSu. Когда вода забирается в катер, она приобретает скорость катера v, и на катер (по третьему закону Ньютона) действует сила

F₁ = – ρSuv.

Когда вода выбрасывается из катера назад со скоростью u, на катер действует сила

F₂ = ρSu² .

Результирующая сила, действующая на катер со стороны воды,

F = F₁ F₂ = ρSu(u – v).

Она равна силе сопротивления, так как катер по условию движется с постоянной скоростью:

ρSu(u – v) = kv².

Решая квадратное уравнение, находим v = 13.4 м/с.

3. На высоте h = 2 м над широким сосудом открывают на время t_o = 2 с кран, из которого вниз выливается в единицу времени масса воды m_t = 0.2 кг/с. Площадь отверстия крана S = 1см². Найти изменение силы давления на подставку и изобразить графически эту силу как функцию времени. (Козел, 1.72)

Решение.
Скорость, с которой вода вытекает из крана,

v_o = m_t /ρS = 2 м/с.

Скорость v, которую имеет вода, попадая в сосуд, можно найти с помощью закона сохранения энергии:

v = (v_o 2gh)^1/2 = 6.6 м/с.

При попадании в сосуд вода тормозится, происходит абсолютно неупругий удар, вследствие чего на сосуд действует сила, равная изменению импульса в единицу времени:

F₁ = m_t v = 1.3 Н.

Кроме того, по мере заполнения сосуда водой на дно действует сила тяжести этой воды, линейно нарастающая со временем:

F₂ = m_t gt.

Общая сила давления на дно

F = F₁ F₂ .

Ее график приведен на рисунке. Время, за которое вода долетает от крана до сосуда,

t₁ = 2h/ (v v_o) = 0.45 с.

Начальную силу давления на дно полагаем равной нулю. Максимальная сила давления на дно

F_max = F₁ m_t gt_o = 5.2 H.

Сила давления на дно сосуда после того, как струя перестанет попадать в сосуд

F_к = m_t gt_o .

4. Цилиндр диаметра D заполнен водой и расположен горизонтально (см. рис.). С какой скоростью перемещается поршень, если на него действует сила F, а из отверстия в задней стенке цилиндра вытекает струя диаметра d? Трением пренебречь силу тяжести не учитывать. (Козел, 1.74)

Ответ: v = (2d²/D){2F/[πρ(D⁴ – d⁴)]}^1/2.
Решение.
Если поршень перемещается со скоростью v , скорость струи (из-за несжимаемости воды) u = v(D/d)².

Так как трением можно пренебречь, для воды в цилиндре справедливо уравнение Бернулли:

P_o F/S ½ ρv² = P_o ½ ρu²,

где Р_о – атмосферное давление, ρ – плотность воды, а S = ¼ πd². Из этих соотношений находим

v = (2d²/D) {2F/ [πρ(D⁴ – d⁴)]}^1/2.

5. На тележке стоит сосуд с высокими стенками и квадратным дном, имеющим сторону L . Нижнее ребро O сосуда шарнирно закреплено. В сосуд налита жидкость до уровня h > ½ L. Тележку тянут с ускорением а, придерживая сосуд. Когда поверхность жидкости успокаивается, сосуд отпускают. При какой минимальной высоте h уровня жидкости сосуд опрокинется? Массой сосуда пренебречь. (Меледин, 1.143)

Ответ: h = ½ L{(a/g) (g/a) [(a²/g²) (4/3)(1 – (a²/g²))]^1/2} ≈ La/g при a << g.

Решение.

Пусть точка С – центр масс ускоренной жидкости. Поверхность жидкости уже не горизонтальна, перпендикуляр к этой поверхности направлен вдоль вектора – а g, направление которого совпадает с направлением результирующей силы, приложенной к центру масс. Если линия действия этой силы пройдет мимо площади опоры, то система перевернется. Критическим условием является прохождение линии действия результирующей силы чрез шарнир, т.е. точку О (см. рис.). Обозначив через х_С горизонтальную координату центра масс, а через y_C – вертикальную, получаем условие

a/g = x_C/y_C.

Центр масс трапеции можно найти, например, через центр масс треугольника и прямоугольника:

x_C = {(L/3)(L/2)(a/g)L (L/2)[h – La/(2g)]}/(hL) = L/2 – L²a/(12hg),

y_C = {(L/3) (a/g) (L/2L)(a/g) ½ [h – La/(2g)] [h – La/(2g)]L}/(hL) =

h/2 – La/(2g) 7L²a²/(24hg²).

Подставляя в вышеприведенное условие найденные значения x_C и y_C, имеем

h² – L[(a/g) (g/a)]h (L²/6)[1 (7/2)(a²/g²)] = 0;

Отсюда, с учетом условий, а < g и h > ½ L, однозначно получаем

h = ½ L {(a/g) (g/a) [(a²/g²) (4/3) (1 – (a²/g²)]^1/2} ≈ La/g при a << g.

6. Поршень вытесняет воду из вертикального цилиндрического сосуда через малое отверстие, находящееся у дна сосуда и имеющее площадь S_o. Высота сосуда равна h , площадь основания – S . Какую работу совершает поршень, если он движется с постоянной скоростью v? Учесть действие силы тяжести. (Меледин, 1.145)

Ответ: A = ρS(h/2)[(vS/S_o)² – gh]
Решение.

Используя закон сохранения энергии и условие несжимаемости жидкости, получаем

W_П = ρgSh (h/2) = ½ ρgSh²,

u = vS/S_o,

W_K = ½ mv² = ρS (h/2) (vS/S_o)²,

где ρ – плотность воды, u – скорость истечения воды. Тогда

A = W_K – W_П = ρS (h/2) [(vS/S_o)² – gh]

для v > (S_o/S)(2gh)^1/2 ,

при v < (S_o/S)(2gh)^1/2 происходит отрыв воды от поршня.

7. Идеальная жидкость, налитая в вертикальное колено узкой изогнутой под прямым углом трубки, удерживается легким поршнем П, находящимся в самом начале горизонтального участка трубки (см. рис.). После освобождения поршня через некоторый промежуток времени вся жидкость оказалась в горизонтальном колене. Пренебрегая трением, найти этот промежуток времени, если первоначальная высота столба жидкости была равна L. (МГУ, физ. фак.,2001)

Ответ: τ = ¼ T = ½ π(L/g)^1/2.

Решение.

В тот момент, когда высота столба жидкости в вертикальном колене трубки станет равной х, масса жидкости в этом колене будет равна ρsx, где s – сечение трубки, ρ – плотность жидкости. Пусть в этот момент времени давление в изгибе трубки станет равным Р. Тогда второй закон Ньютона для этой массы жидкости запишется в виде

(ρsx)x^// = – (ρsx)g – (P_a – P)s

(ось х направлена вверх), где P_a – атмосферное давление. Уравнение же движения жидкости в горизонтальном участке трубки с учетом того, что трубка тонкая и того же сечения, а массой поршня можно пренебречь, можно представить в виде

[Ρs (L – x)]x^// = – ( P – P_a)s .

из приведенных уравнений следует, что при 0 < x ≤ L ускорение, с которым движутся поршень и жидкость в трубке, должно быть равно

x^// = – (g/L) x.

Таким образом, начиная с того момента, когда поршень был отпущен, вплоть до того момента, когда вся жидкость перетекла в горизонтальную часть трубки, ее движение описывается уравнением гармонических колебаний. Этот процесс длился четверть периода колебаний

τ = ¼ T = ½ π(L/g)^1/2.

8. В водоеме укреплена вертикальная труба с поршнем так, что нижний ее конец погружен в воду. Поршень, лежавший вначале на поверхности воды, медленно поднимают на высоту Н = 15 м (см. рис.). Какую работу пришлось при этом совершить? Площадь поршня S = 1 дм². Атмосферное давление Р_о = 100 кПа. Массой поршня пренебречь. (Козел, 1.98)

Ответ: А = 10 кДж.

Решение.

Вода поднимается за поршнем до высоты h = 10 м. Работа, совершенная при этом

А₁ = ½ ρSh²g.

При дальнейшем движении поршня работа, совершаемая против силы атмосферного давления,

А₂ = P_oS(H – h).

Итак, совершенная при подъеме поршня работа

A = ½ ρSh²g P_oS(H – h) = 10 кДж.

9. Брусок массы m удерживается в воздухе n струями воды, бьющими вертикально вверх из отверстий, имеющих сечение S_o . Скорость на выходе из отверстий равна v_o . Достигая бруска, вода разлетается от него в горизонтальной плоскости. На какой высоте над отверстиями удерживается брусок? Плотность воды равна ρ. (Меледин , 1.178)

Ответ: h = {v_o² – [mg/(nρv_oS_o)]²}/(2g).

Решение.
Сила давления на брусок одной струи

F = Δp/Δt = ρv²S.

Тогда

mg = n ρv²S = n ρvv_oS_o.

Так как из условия неразрывности струи следует, что

vS = v_oS_o.

Наконец, из кинематических соображений имеем

v² = v_o² – 2gh.

Решая совместно эти уравнения, получаем

h = {v_o² – [mg/ (nρv_oS_o)]²}/(2g).

10. В вертикальной трубе радиуса R , заполненной жидкостью плотности ρ₁, вдоль оси трубы всплывает круглый стержень радиуса r и длины L, причем L >> R (см. рис.). Плотность стержня ρ₂ < ρ₁ . Пренебрегая концевыми эффектами и трением, найти скорость и ускорение стержня в зависимости от пройденного расстояния h , если в начальный момент он покоился. (Меледин , 1.179^*)

Ответ: v = {2gh(1 – ρ₂/ρ₁)/[ρ₂/ρ₁ r²/(R² – r²)]}^1/2, a = g(1 – ρ₂/ρ₁)/[ρ₂/ρ₁ r²/(R² – r²)].

Решение.
Если стержень движется со скорость v, то, так как жидкость несжимаема, она должна протекать в противоположную сторону между стержнем и стенками трубы со скоростью u, причем S₁v = S₂u, т.е.

πr²v = π(R² – r²) u;

отсюда

u = v r²/ (R² – r²).

Скорость жидкости u предполагается одинаковой всюду, кроме небольших участков около торцов стержня. Однако, если длина цилиндра L >> r, то вкладом этих участков в энергию системы можно пренебречь. Из закона сохранения при подъеме стержня на высоту h следует

½ ρ₂πr²v²L ½ ρ₁π(R² – r²)u²L = (ρ₁ – ρ₂)π r²Lgh.

Таким образом,

v = {2gh (1 – ρ₂/ρ₁)/ [ ρ₂/ρ₁ r²/ (R² – r²)]}^1/2,

a = ½ v²/h = g (1 – ρ₂/ρ₁)/ [ ρ₂/ρ₁ r²/ (R² – r²)].

11. В короткой трубке переменного сечения поддерживается неизменное во времени течение вязкой несжимаемой жидкости плотности ρ. В сечениях I и II , площади которых равны S₁ и S₂ соответственно, скорость жидкости можно считать постоянной по сечению. Найти силу, с которой жидкость действует на участок трубы между сечениями I и II , и количество теплоты, которое выделяется в единицу времени в объеме трубы между этими сечениями. Давление и скорость жидкости в сечении I равны P₁ и v₁; в сечении II давление равно Р₂. (Меледин, 1.180^*)

Ответ: F = S₂P₂ – S₁P₁ – ρS₁v₁²(1 – S₁/S₂), ΔQ/Δt = S₁v₁[(P₁ – P₂) ½ ρv₁²(1 – S₁²/S₂²).
Решение.
Изменение импульса выделенного объема жидкости за малое время

ρS₂v₂Δtv₂ – ρS₁v₁Δtv₁ = (S₁P₁ – S₂P₂ F_o) Δt ,

где ρS₁v₁Δt – масса жидкости, прошедшей через сечение S₁ за время Δt, F_o – сила, с которой труба действует на жидкость. Искомая сила F = – F_o,

F = S₂P₂ – S₁P₁ – ρS₁v₁²( 1 – S₁/S₂).

Закон сохранения энергии для объема жидкости, протекшей за время Δt между сечениями I и II, дает

P₁S₁v₁Δt – P₂S₂v₂Δt = ½ Δmv₂² – ½ Δmv₁² ΔQ.

Здесь в левой части уравнения – работа силы давления, произведенная над интересующим нас объемом жидкости, а в правой части – изменение кинетической энергии этого объема жидкости и количество теплоты, выделившееся между сечениями I и II за время Δt. Учитывая неразрывность течения жидкости, получаем

Δm = ρS₁v₁Δt = ρS₂v₂Δt

и, окончательно, количество теплоты, выделившееся в единицу времени

ΔQ/Δt = S₁v₁[(P₁ – P₂) ½ ρv₁²(1 – S₁²/S₂²).

12. Сосуд с водой движется по наклонной плоскости с углом наклона α так, что уровень воды устанавливается параллельно этой плоскости (см. рис.). Из отверстия около дна сосуда вытекает вода со скоростью v. Определить коэффициент трения между сосудом и плоскостью, если масса сосуда с водой равна m , а площадь отверстия S. Изменением массы воды, связанным с ее истечением из сосуда, пренебречь. (Гольдфарб,3.22)

Ответ: k = ρSv²/(mgcosα).
Решение.
Для сосуда с водой второй закон Ньютона имеет вид

ma = mgsinα F_р – kmgcosα.

Из условия, что уровень воды параллелен наклонной плоскости, следует, что сосуд с жидкостью движется вдоль наклонной плоскости с ускорением

а = gsinα.

Сила реакции, по третьему закону Ньютона, численно равна изменению количества движения воды, вытекающей из сосуда в единицу времени:

F_p = Δ(mv)/Δt = (ρSΔx)v/Δt = ρSv².

Отсюда

k = ρSv²/ (mgcosα).

13. В стенке сосуда с водой просверлены одно над другим два отверстия площади S = 0.2 см² каждое. Расстояние между отверстиями Н = 50 см. в сосуд ежесекундно вливается Q = 140 см³ воды (при этом уровень воды в сосуде остается постоянным). Найти точку пересечения струй, вытекающих из отверстий. (Буховцев, 284)

Ответ: x = 120 см, y = 130 см (от уровня воды).

Решение.
Обозначим через h расстояние от уровня воды до верхнего отверстия, через х искомое расстояние от сосуда до точки пересечения струй по горизонтали и через y расстояние от уровня воды в сосуде до той же точки (см. рис.). Точка пересечения струй будет оставаться на одном месте, если уровень воды не изменяется. Для этого необходимо, чтобы

Q = Sv₁ Sv₂,

где v₁ = (2gh)^1/2 и v₂ = [2g(H h)]^1/2 – скорости истечения струй из отверстий. На основании законов кинематики

x = v₁t₁ = v₂t₂,

y = h ½ gt₁² = h ½ gt₂² ,

где t₁ и t₂ – время “падения” воды от отверстий до точки пересечения струй. Отсюда

x = ½ [Q²/ (2gS²) – 2gS²H²/Q²] = 120 см,

y = ½ [Q²/ (2gS²) 2gS²H²/Q²] = 130 см.

14. “Тройник” с двумя открытыми в атмосферу вертикальными трубками и одной закрытой, полностью заполнен водой (см. рис.). После того, как “тройник” стали двигать по горизонтали (в плоскости рисунка) с некоторым постоянным ускорением, из него вылилось 1/8 массы всей содержавшейся в нем воды. Чему равно давление в жидкости в нижней части закрытой трубки (точка О)? Трубки имеют одинаковое внутреннее сечение и длину L. (МФТИ,1998)

Ответ:P_АТМ (7/4) ρgL.
Решение.

Вода в горизонтальной трубке между вертикальными трубками движется с одним и тем же ускорением

P_АТМ ρgL – (Р_О – ρgL) = (Р_О – ρgL) – ρgX – P_АТМ

где Х – уровень воды в средней трубке. Из условия задачи

(L – X)/(4L) = α (= 1/8).

Отсюда P_O = P_АТМ (3ρgL ρgX)/2 = P_АТМ (7/4) ρgL.

15. По резиновой трубке, свернутой в виде кольца, циркулирует со скоростью v вода. Радиус кольца равен R, диаметр трубки d << R. С какой силой растянута резиновая трубка?

Ответ: T = ρ (πd²/4) v².

Решение.
Выделим малый элемент трубки длины RΔα (cм. рис.). Растянутые стенки трубки сообщают жидкости, протекающей по этому элементу, ускорение a = v²/R. По третьему закону Ньютона на элемент трубки со стороны жидкости будет действовать сила

ΔF = ρ(πd²/4)RΔαv²/R,

где ρ – плотность воды. Сила ΔF уравновешивается силами натяжения кольца Т. Из условия равновесия, учитывая, что RΔα мало, имеем

ΔF = 2Т sin(Δα/2) = T Δα

Следовательно искомая сила

T = ρ (πd²/4) v².

16. В дне сосуда проделано отверстие сечением S₁. В сосуд налита вода до высоты h и уровень ее поддерживается постоянным. Определить площадь поперечного сечения струи, вытекающей из сосуда на расстоянии 3h от его дна. Считать, что струя не разбрызгивается; силами трения в жидкости пренебречь.

Ответ: S₂ = ½ S₁.

Если не учитывать сжимаемости воды, можно считать, что за любые равные промежутки времени через сечения 1 и 2 проходит одинаковое количество жидкости

S₁v₁Δt = S₂v₂Δt,

где v₁ и v₂ – скорости жидкости в сечениях 1 и 2, имеющих площади S₁ и S₂. Скорости в потоке жидкости определятся из закона Бернулли, представляющего собой выражение закона сохранения энергии для жидкости, заключенной в единичном объеме. Для уровней 1 и 2, пренебрегая скоростью жидкости на открытой поверхности и учитывая, что работа внешних сил равна нулю (внешними силами здесь являются силы атмосферного давления, действующие на жидкость сверху и снизу), можно записать

ρgh = ½ ρv₁²,

откуда

v₁ = (2gh)^1/2.

При переходе единичного объема жидкости с уровня 0 на уровень 2 аналогично получим

ρg4h = ½ ρv₂²,

откуда

v₂ = (8gh)^1/2.

Решая эти уравнения относительно искомого сечения S₂, получим

S₂ = 0.5 S₁
V. Молекулярная физика, термодинамика.

5.1. Поверхностное натяжение.

1. В озеро глубиной h = 20м и площадью S = 10км² бросили кристаллик поваренной соли массой m = 0.01г. Сколько молекул этой соли оказалось бы в наперстке воды объемом V = 2.0см³, зачерпнутым из этого озера, если считать, что соль, растворившись, равномерно распределилась в озере?

Ответ: N ~ 10⁶ молекул.

Решение.

Общее количество молекул соли в кристалле

N_o = N_Am/μ,

где N_A – число Авогадро, μ – молярная масса NaCl. Это количество молекул равномерно распределилось по объему озера

V_o = Sh.

Концентрация молекул NaCl в озере и наперстке одинакова

N/V = N_o/(Sh),

где N – количество молекул в наперстке. Отсюда

N = VN_o/(Sh) = mVN_A/( μhS) = 10⁶ молекул. (μ = 60 г/моль)

2. Средняя квадратическая скорость молекул некоторого газа при нормальных условиях равна 460м/с. Какое число молекул содержится в m = 1г этого газа? Газ считать идеальным.

Ответ: N ~ 1.9 10²² .

Решение.
Пусть m_o – масса одной молекулы. Тогда число молекул N = m/m_o . Так как

½ m_ov² = 3/2kT ,

то

N = mv²/3kT .

Здесь Т = 273К. Окончательно , N ~ 1.9 10²² .

3. В сосуде находится углекислый газ. При некоторой температуре 25% молекул углекислого газа диссоциировало на атомарный кислород и окись углерода. Как изменится давление в сосуде при этих условиях по сравнению с давлением до диссоциации?

Ответ: Р₂/P₁ = 1.25 .

Решение.
Пусть в сосуде объемом V было N молекул СО₂. Диссоциировало αN молекул СО₂ и образовалось αN молекул О и αN молекул СО. При этом остались (1- α)N молекул СО₂ . Общее число молекул в сосуде после диссоциации

N₂ = αN αN (1- α)N = (1 α)N .

До диссоциации давление в сосуде было равно Р₁ , причем

P₁V = NkT.

После диссоциации давление в смеси газов стало Р₂ и

P₂V = N₂ kT.

Таким образом, давление после диссоциации стало больше в

Р₂ / P₁ = N₂ / N = 1 α =1.25 (раз).

4. Сосуд сообщается с окружающим пространством через малое отверстие. Температура газа в окружающем пространстве Т, давление Р, причем оно настолько мало, что молекулы газа при пролете в сосуд и из сосуда не сталкиваются друг с другом на протяжении размеров отверстия. В сосуде поддерживается температура 4Т. Каким будет давление в сосуде? (Всесоюзная олимпиада)

Ответ: Р₁ = 2Р.

Решение.
Давление газа в сосуде равно

Р₁ = n₁kT₁ = 4n₁kT,

где n₁ – концентрация газа в сосуде. Вне сосуда P = nkT, где n – концентрация газа вне сосуда. Таким образом

Р₁ = 4Р(n₁/n) .

Равновесие между сосудом и окружающим пространством наступает тогда, когда число молекул, влетающих в сосуд, равно числу молекул, вылетающих из него. Если учитывать только молекулы, летящие перпендикулярно отверстию (вдоль оси х), их число, вылетающее за время Δt из отверстия площадью S , равно

z₁ = ½ n₁S | v_x1 | Δt ,

где | v_x1 | – средняя скорость молекул вдоль оси х. (Учет молекул, пролетающих отверстие под углом, приводит лишь к изменению коэффициента “ ½ “ в формуле, что несущественно в данном случае.) Аналогично, число вылетающих молекул

z = ½ nS | v_x | Δt .

Поскольку z₁ = z, то n₁/n = | v_x |/| v_x1 | .

Но известно, что средняя скорость молекул пропорциональна корню квадратному из температуры. Следовательно,

n₁/n = (Т/Т₁)^1/2 = ½.

Таким образом, давление в сосуде Р₁ = 2Р.

5. Чему равен коэффициент поверхностного натяжения воды, если с помощью пипетки, имеющей кончик диаметром d = 0.4мм, можно дозировать воду с точностью до m = 0.01г.

Ответ: σ = mg/πd = 7.8 10^-2Н/м.

Решение.
Вертикальная составляющая сил поверхностного натяжения будет максимальна, когда поверхность капли у края пипетки будет вертикальна (капля в виде полусферы). Она равна

F = σ πd ,

и уравновешивает силу тяжести капли

P = mg.

При дальнейшем увеличении капли вертикальная составляющая силы поверхностного натяжения уменьшается, а сила, действующая на каплю увеличивается. Равновесие становится невозможным, и капля срывается:

σ = mg/πd = 7.8 10^-2 Н/м.

6. Капиллярная трубка с очень тонкими стенками подвешена вертикально к чашке рычажных весов. Весы уравновешены. К трубке подносят снизу сосуд с водой, так что поверхность воды касается капилляра. Чтобы восстановить равновесие, пришлось увеличить груз на другой чашке весов на m = 0.14г. определить радиус капилляра.

Ответ: r = 1.5мм.

Решение.
Силы поверхностного натяжения тянут капиллярную трубку вниз. Они приложены к внутренней и внешней поверхности по окружностям радиуса r, поэтому полная длина линии, вдоль которой действует сила поверхностного натяжения F, равна 4πr. Следовательно ,

F = 4π σ.

C другой стороны, согласно условию равновесия

F = mg,

Отсюда

r = mg/4πσ = 1.5мм.

7. Смачиваемый водой кубик массы m = 20г плавает на поверхности воды. Длина ребра кубика а = 3.0см. На какой глубине h от поверхности воды находится нижняя грань кубика?

Ответ: h = 2.3см.

Решение.
Свободная поверхность жидкости граничит со стенками кубика по периметру квадрата со стороной а. Кубик тянет вниз сила поверхностного натяжения

F_ПН = 4σа.

Условие равновесия:

F_A = mg F_ПН .

Учитывая, что

F_A = ρ_В g V_В = ρ_В g а²h ,

где ρ_В – плотность воды, а V_В – объем погруженной части кубика (т.е. объем вытесненной воды), получаем:

h = (mg 4σа) / ρ_В g а² = 0.023м.

итак, нижняя часть кубика погружена на глубину 2.3см. в отсутствие поверхностного натяжения (при σ = 0) эта глубина была бы на 1мм меньше.

8. Оценить силу, необходимую для разъединения двух “слипшихся ” зеркальных стекол размером 1м х 1м, между которыми попала вода. Среднее расстояние между стеклами d = 0.2мм. Как можно облегчить разъединение стекол?

Ответ: F ~ 700H.

Решение.
Почему слипаются стекла? У их краев образуется цилиндрический мениск, вогнутый внутрь, с радиусом кривизны ½ d (величина d определяется высотой неровностей и возможным изгибом стекол). Значит давление внутри воды (между стеклами) меньше атмосферного на

ΔР = 2σ / d.

Именно за счет этой разности давлений и создается сила

F = ΔР S = 2σS / d,

прижимающая стекла к друг другу. В данном случае она равна 700Н. Такую силу необходимо приложить, чтобы оторвать стекла друг от друга. Заметим, что чем лучше отполированы стекла и чем они более плоские, тем труднее их разъединить (F ~ 1/d). Можно, конечно, заставить скользить стекла друг относительно друга, уменьшая тем самым площадь их перекрытия S. Для этого потребуется преодолеть лишь силу трения, намного меньшую F. Однако так стекла можно поцарапать. Лучше всего погрузить стекла в воду – мениск исчезнет, и стекла разъединятся без труда.

9. Мыльная пленка ограничена проволочным каркасом и двумя подвижными планками: АВ длиной l₁ = 10 см и CD длиной l₂ = 5 см. Планки жестко скреплены между собой. Коэффициент поверхностного натяжения пленки  = 0. 07 Н / м . Какую работу надо совершить для перемещения планки АВ влево на

h = 5 см?

Ответ: A = 2σh(l₁ – l₂).

Решение.
Работа, совершаемая при перемещении планки АВ влево равна изменению энергии поверхностного натяжения мыльной пленки

A = ΔW = 2σΔS = 2σ( l₁h– l₂h) = 2 σh( l₁ – l₂).

Здесь ΔS – изменение площади поверхности пленки ρ.

10. С какой скоростью растет толщина покрытия стенки серебром при напылении, если атомы серебра, обладая энергией Е = 10^-17 Дж, производят давление на стенку Р = 0.1 Па? Атомная масса серебра А = 108, его плотность ρ = 10.5 г/см³. (Козел,№2.234)

Ответ: d_τ = 9^.10^-8 см/с.

Решение.
На единицу площади стенки в единицу времени попадает масса серебра

М_τ = m N_τ = ρd_τ ,

откуда

d_τ = m /ρ,

где N_τ – число частиц, попадающих на единицу площади стенки за единицу времени. Давление на стенку

P = mv N_τ ,

а

v = (2E/m)^1/2.

Итак,

m N_τ = P(2E/m)^1/2 = P[A/(2EN_A)]^1/2.

Для толщины слоя, нарастающего за единицу времени, имеем

d_τ = (P/ρ) [A/(2EN_A)]^1/2 = 9^.10^-8 см/с.

11. При взрыве атомной бомбы (М = 1 кг плутония Pu²⁴² ) получается одна радиоактивная частица на каждый атом плутония. Предполагая, что ветры равномерно перемешивают эти частицы во всей атмосфере, подсчитать число радиоактивных частиц, попадающих в объем V = 1 дм³ воздуха у поверхности Земли. Радиус Земли принять равным R = 6^.10⁶ м. (Козел, №2.238)

Ответ: n = 700 дм^-3.

Решение.
Число радиоактивных частиц во всей атмосфере

N = MN_A/A = 2.5^.10²⁴ .

Масса атмосферного воздуха

M_o = P_o4πR²/g = 4.5^.10¹⁸ кг.

Число молекул воздуха во всей атмосфере

N_o = M_oN_A/μ= 9.6^.10⁴³ .

При нормальных условиях число молекул в объеме V воздуха легче всего найти из условия, что 1 моль воздуха занимает объем V_o = 22.4 дм³/моль:

n_o = N_A/V_o= 2.7^.10²² дм^-3.

Зная полное число молекул воздуха и радиоактивных частиц в объеме, найдем число частиц в объеме V = 1 дм³:

n = n_oN/N_o= 700 дм^-3.

Итак, одна атомная бомба дает 700 радиоактивных частиц на каждый человеческий вздох.

12. Спутник сечения S = 1 м² движется с первой космической скоростью v = 7.9 км/с по околоземной орбите. Давление воздуха на высоте орбиты (h = 200 км) Р = 1.37^.10^-4 Па , температура Т = 1226 К. Определить число столкновений спутника с молекулами воздуха в единицу времени. (Козел, №2.248)

Ответ: z = 6^.10¹⁹ c^-1 .

Решение.
За некоторое время τ спутник столкнется с молекулами, находящимися в цилиндре сечения S и длины vτ. Число молекул в этом объеме равно Svτn. Число молекул в этом объеме можно найти, используя уравнение газового состояния в форме P = nkT:

n = P/kT = N_AP/RT.

Для искомого числа столкновений в единицу времени имеем

z = Sv N_AP/(RT) = 6^.10¹⁹ c^-1 .

Мы считали молекулы неподвижными. В данном случае это не вносит существенной погрешности, т.к. средняя скорость молекул гораздо меньше скорости спутника.

13. Оценить длину свободного пробега молекулы в воздухе при нормальных условиях. Диаметр молекулы d = 3.7^.10^-10 м. (Козел, №2.249)

Ответ: λ = 8.75^.10^-8 м.

Решение.
Молекула столкнется с другой молекулой, если расстояние между центрами окажется меньше d. Пусть за какое-то время молекула прошла путь L. Тогда она столкнулась с молекулами, центры которых находятся в ломанном цилиндре (изломы в точках столкновений) длины L и сечения πd². Число молекул в этом объеме nLπd² (n – число молекул в единице объема) и есть число столкновений. Подсчитаем путь от столкновения до столкновения – длину свободного пробега:

λ = L/(nLπd²) = RT/(N_AP πd²) = 8.75^.10^-8 м.

Здесь давление принято равным Р = 100 кПа, температура Т = 273 К. Экспериментальное значение длины свободного пробега при таких условиях

λ = 6.2^.10^-8 м. Расхождение, в основном, связано с тем, что мы считали все молекулы, кроме выбранной, неподвижными. Подробный анализ показывает, что учет относительного движения молекул приводит к изменению длины свободного пробега в 1/√2 раз. Помножив полученный нами результат на этот множитель, окончательно получим λ = 6.19^.10^-8 м.

14. Найти среднее расстояние между молекулами насыщенного водяного пара при температуре t = 100^оС. (Козел, №2.236)

Ответ: λ = 8.75^.10^-8 м.

Решение.
Моль газа занимает объем V = RT/P. На одну молекулу приходится объем

v = RT/(PN_A) = kT/P.

Среднее расстояние между молекулами, таким образом,

L = (kT/P)^1/3.

При температуре t = 100^оС давление насыщенного водяного пара Р = 100 кПа. Окончательно получаем L = 3.7^.10^-9 м.

15. В вакууме находится мыльный пузырь радиуса R₁ c газом, внутри которого находится такой же пузырь радиуса R₂ и с таким же газом. Внутренний пузырь лопается. Найти радиус внешнего пузыря, если температура газа поддерживается постоянной. (Меледин, 2.14)

Ответ: R = (R₁² R₂²)^1/2.

Решение.

В первом пузыре давление

Р₁ = 4σ/R₁,

а во втором

Р₂ = Р₁ 4σ/R₂.

После того как остался один пузырь, давление в нем стало

Р. = 4σ/R.

Объемы газа соответственно равны

V₁ = 4π(R₁³ – R₂³)/3,

V₂ = 4πR₂³/3,

V = 4πR³/3.

По закону Бойля-Мариотта находим

P₁V₁ P₂V₂ = PV;

Отсюда

R = (R₁² R₂²)^1/2.

16. Оценить относительную ошибку, которую допускают при измерении атмосферного давления ртутным барометром, имеющим барометрическую трубку с внутренним диаметром d = 5 мм. Занижает или завышает показания такой барометр? Какова относительная ошибка при измерении атмосферного давления по высоте столбика ртути, если коэффициент поверхностного натяжения ртути σ = 0.48 Н/м, а плотность ртути ρ = 13.6 г/см³.

Ответ: ε ≈ 0.4 %.

Решение.
Ртуть не смачивает стекло, мениск будет выпуклым, и высота столбика ртути уменьшается из-за действия сил поверхностного натяжения. Абсолютная систематическая ошибка при измерении высоты ртутного столба таким барометром определится из условия:

ΔP = πdσ/(¼πd²) = 4σ/d = ρ_ртgΔh,

откуда

Δh = 4σ/(dρ_ртg).

Относительная ошибка измерения давления:

ε = ΔP/P = Δh/h = 4σ/(dρ_ртgh),

где h ≈ 76 см, поэтому ε ≈ 0.4 %.

17. Конец капиллярной трубки радиуса r = 0.05см опущен в воду на глубину h = 2см. какое давление необходимо, чтобы выдуть пузырек воздуха через нижний конец трубки? Поверхностное натяжение воды σ = 0.072 Н/м.

Ответ: Р = 472 Па.

Необходимое давление должно превышать атмосферное на величину, способную уравновесить гидростатическое давление столба жидкости и капиллярное давление в пузырьке воздуха радиуса r . Повышение давления

Р = ρgh 2σ/r = 484Па.

18. Какую работу необходимо совершить, чтобы медленно выдуть мыльный пузырь радиуса R = 4 см через тонкую трубку? Коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора считать равным 0.07 Н/м.

Ответ: А = 2.9 мДж.

Решение.

1-й способ. Давление газа внутри мыльного пузыря больше наружного атмосферного давления. При этом давление внутри жидкой пленки, образующей пузырь, больше атмосферного на величину 2σ/r₁, но меньше давления внутри пузыря на величину 2σ/r₂, Здесь r₁ – радиус внешней сферической поверхности, а r₂ – внутренней. Так как пленка тонкая, то можно считать, что r₁ ≈ r₂ = r, где r – радиус пузыря. Тогда избыточное давление внутри пузыря

ΔP = 4σ/r.

Найдем полную силу, растягивающую пузырь, учитывая, что площадь сферической поверхности равна S = 4πr²:

F = ΔPS = 16π σ r.

При увеличении радиуса пузыря на малую величину Δr силы давления совершают работу

ΔA = FΔr = 16π σ rΔr.

При выдувании пузыря радиус r увеличивается от 0 до R. Так как сила F увеличивается прямо пропорционально r, то полная работа по выдуванию пузыря равна

A = F_срR = ½ F_maxR = 8π σ R².

2-й способ. Работа внешних сил по выдуванию пузыря идет на увеличение поверхностной энергии мыльной пленки. Общая площадь поверхности пленки равна удвоенной площади сферы радиуса R. Тогда

A = W_пов = σS_общ = 8π σ R² ≈ 2.9 мДж.

19. Для дальней космической связи используется спутник объемом 100м³ , наполненный воздухом при нормальных условиях. Метеорит пробивает в его корпусе отверстие площадью S = 1см². Через какое время давление воздуха внутри спутника изменится на 1%. Температуру считать неизменной.

Ответ: Δt ~ 6 мин.

Решение
В условиях постоянной температуры изменение давления связано с уменьшением концентрации молекул

ΔP = ΔnkT.

За время Δt количество молекул, покинувших спутник, равно

Δn = (1/6)n(SvΔt),

где v = (3RT/)^1/2 – среднеквадратическая скорость молекул.

Отсюда

Δt = 6ΔP/(SvnkT) = 6(ΔP/P)/(Sv) = 6(ΔP/P)[μ /(3RT)]^1/2/S ≈ 6 мин.

5.2. Газовые законы.

1. Сосуд разделен легкими подвижными поршнями на три равные части, в которых находятся гелий, водород и азот (см. рис.). Левый поршень проницаем для гелия и водорода, правый проницаем только для водорода. Найти расстояние, на которое сместится правый поршень после окончания процесса диффузии газов. Начальное давление гелия в три раза больше начального давления водорода и азота. Длина сосуда равна L.

Ответ: ΔL = L/12 .

Решение.
Так как начальное давление гелия в три раза больше начальных давлений водорода и азота, а объемы газов одинаковые, то количество молей гелия в три раза больше количества молей водорода и азота:

ν_Не/ ν_Н = ν_Не/ ν_N = 3.

Правый цилиндр проницаем для водорода. Поэтому давление на него производят только гелий и азот. Температура всех газов после окончания диффузии будет одинакова. Правый цилиндр будет перемещаться до тех пор, пока давления азота и гелия не сравняются:

Р_Не = Р_N; ν_НеRT/(L – x) = ν_NRT/ x.

Здесь х – равновесное положение поршня, отсчитываемое от правой стенки сосуда. Из этих уравнений после несложных преобразований находим

x = ¼ L,

а величина смещения

ΔL = 1/3 L – ¼ L = L/12.

2. С какой максимальной силой прижимается к телу человека медицинская банка, если диаметр ее отверстия d = 4см? В момент прикладывания ее к телу воздух в ней имеет температуру t₁ = 80^oC, а температура окружающего воздуха t_o = 20^oC, атмосферное давление Р_о = 10⁵Па. Изменением объема воздуха в банке при ее присасывании пренебречь. (МФТИ,1988)

Ответ: F = P_o(1 – T_o/T)πd²/4 ~ 21H.

Решение.
При остывании воздуха в банке давление воздуха в ней становится меньше атмосферного, и сила, с которой с которой она прижимается к телу, равна

F = (P_o – P_б) πd²/4.

Изменением объема воздуха в банке пренебрегаем, тогда

Р_б/Т_о = Р_о/Т → Р_б = Р_о (Т_о /Т).

Итак: F = P_o(1 – T_o/T)πd²/4 ~ 21H.

3. Найти формулу некоторого соединения углерода с кислородом, если известно, что m =1г этого вещества в газообразном состоянии создает в объеме V = 1л при температуре Т = 27^оС давление Р = 5.610⁴ Па. (МФТИ, 1992г)

Ответ: СО₂ – углекислый газ.

Решение.
Воспользуемся уравнением состояния идеального газа

PV = (m/) RT,

откуда найдем молярную массу соединения:

 = mRT/PV = 44г/моль.

Молярная масса углерода _С = 12г/моль, молярная масса кислорода

_О = 16г/моль; единственная комбинация, при которой молярная масса смеси:

 = 44г/моль, это СО₂ – углекислый газ.

4. При комнатной температуре четырехокись азота частично диссоциирует на двуокись азота: N₂O₄ ↔ 2NO₂ . В откаченный сосуд объемом V = 250см³ вводится m = 0.92г жидкой четырехокиси азота. Когда температура в сосуде увеличивается до t =27^oC , жидкость полностью испаряется, а давление становится равным Р = 129кПа. Какая масса четырехокиси при этом диссоциирует?

Ответ: m₁ = μ₁(μ₂PV/RT –m)/(μ₂ – μ₁) ~ 0.27г.

Решение.
Пусть диссоциирует масса m₁ . Тогда парциальное давление двуокиси азота

Р₁ = m₁RT/ μ₁V ,

где μ₁ = 46г/моль. Парциальное давление четырехокиси азота

Р₂ = (m-m₁)RT/ μ₂V,

где μ₂ = 92г/моль. По закону Дальтона Р = Р₁ Р₂ . Подставив в последнее равенство выражения для Р₁ и Р₂ , получаем:

m₁ = μ₁(μ₂PV/RT –m)/ ( μ₂ – μ₁) ~ 0.27г.

5. В запаянной с обоих концов U-образной трубке, частично заполненной водой, в одном из колен находится воздух, а из другого колена воздух полностью удален. При температуре t₁ = 27 ºC уровень воды в колене, содержащем воздух, ниже запаянного торца трубки на L₁ = 80 см, а перепад уровней воды в коленах равен h₁ = 50 см. Найти изменение разности уровней воды в коленах после нагревания трубки до температуры t₁=87ºC, пренебрегая тепловым расширением и объемом испарившейся воды. (МГУ, физ. фак.,2000)

Ответ: x = – (½ h₁ L₁) {((½ h₁ L₁)² 2 L₁ h₁ (T₂/ T₁ -1)}^1/2 ~ 7.4 см.

Поделитесь с Вашими друзьями: