Максимальная норма

Норма в векторном пространстве матриц

В математике матрица norm – это векторная норма в векторном пространстве, элементами (векторами) которого являются матрицы (заданных размеров).

Длина в векторном пространстве

В математике, норма – это функция из вещественного или комплексного векторного пространства к неотрицательным действительным числам, которая ведет себя определенным образом, как расстояние от исходной точки : it коммутирует с масштабированием, подчиняется форме неравенства треугольника и равен нулю только в начале координат. В частности, евклидово расстояние вектора от начала координат является нормой, называемой евклидовой нормой или 2-нормой, которую также можно определить как квадратный корень внутреннего произведения вектора с самим собой.

A псевдонорма или полунорма удовлетворяет первым двум свойствам нормы, но может быть нулем для других векторов, кроме исходных. Векторное пространство с указанной нормой называется нормированным векторным пространством. Аналогичным образом векторное пространство с полунормой называется полунормированным векторным пространством.

Библиография

Все полунормы в векторном пространстве V можно классифицировать в терминах абсолютно выпуклых поглощающих подмножеств A из V. Каждому такому подмножеству соответствует полунорма p A, называемая калибром элемента A, определяемого как

со свойством, что

Такой метод используется для разработки слабых и слабых * топологий.

Свойства

Для любой нормы p в векторном пространстве V выполняется неравенство обратного треугольника : для всех u и v ∈ V,

Для норм L мы имеем неравенство Гёльдера

Особый случай из этого неравенство Коши – Шварца :

Иллюстрации единичных окружностей в разных нормах.

Эквивалентность

Две нормы ‖ • ‖ α и ‖ • ‖ β на векторном пространстве V называются эквивалентными, если они индуцируют одну и ту же топологию, что происходит тогда и только тогда, когда существуют положительные действительные числа C и D такие, что для всех x в V

Если векторное пространство является конечномерным реальный или сложный, все нормы равнозначны. С другой стороны, в случае бесконечномерных векторных пространств не все нормы эквивалентны.

Эквивалентные нормы определяют одни и те же понятия непрерывности и конвергенции, и для многих целей нет необходимости различать. Точнее, равномерная структура, определяемая эквивалентными нормами в векторном пространстве, равномерно изоморфна.

Матричные нормы, индуцированные векторными нормами

Более того, любая индуцированная норма удовлетворяет неравенству

где ρ (A) – спектральный радиус A. Для симметричного или эрмитова A, мы имеем равенство в (1) для 2-нормы, так как в этом случае 2-норма – это в точности спектральный радиус матрицы A. Для произвольной матрицы мы не можем иметь равенства ни для какой нормы; контрпримером будет

с исчезающим спектральным радиусом. В любом случае для квадратных матриц мы имеем формулу для спектрального радиуса :

Особые случаи

который это просто максимальная абсолютная сумма столбцов матрицы;

это просто максимальная абсолютная сумма строк матрицы;

. Например, для

мы имеем, что

Определение

Кроме того, в случае квадратных матриц (матриц с m = n) некоторые (но не все) нормы матриц удовлетворяют следующему условию, которое связано с тем, что матрицы – это больше, чем просто векторы:

Существует три типа матричных норм, которые будут рассмотрены ниже:

Нормы Шаттена

Эти нормы снова имеют общие обозначения с индуцированными и поэлементными p-нормами, но они разные.

Наиболее известные случаи равны p = 1, 2, ∞. Случай p = 2 дает норму Фробениуса, введенную ранее. Случай p = ∞ дает спектральную норму, которая является операторной нормой, индуцированной векторной 2-нормой (см. Выше). Наконец, p = 1 дает ядерную норму (также известную как следовая норма или Ky Fan ‘n’-норма), определяемую как

Совместимые нормы

является нормой на одномерных векторных пространствах, образованных вещественными или комплексными числами.

Евклидова норма

Это евклидова норма, которая дает обычное расстояние от начала координат до точки X – следствие теоремы Пифагора. Эта операция также может называться «SRSS», что является аббревиатурой от s quare r oot s um of s quares.

Евклидова норма на сегодняшний день является наиболее часто используемой нормой на, но есть и другие нормы в этом векторном пространстве, как будет показано ниже. Однако все эти нормы эквивалентны в том смысле, что все они определяют одну и ту же топологию.

Внутреннее произведение двух векторов евклидова векторного пространства является скалярным произведением их координатных векторов над ортонормированный базис. Следовательно, евклидова норма может быть записана безкоординатным образом как

Евклидова норма также называется нормой L, ℓ нормой, 2-нормой или квадратной нормой ; см. L пробел. Он определяет функцию расстояния , называемую евклидовой длиной, L расстоянием или ℓ расстоянием .

. Набор векторов в ℝ, евклидова норма которых равна заданная положительная константа образует n-сферу.

Евклидова норма комплексных чисел

Есть ровно четыре евклидовых алгебры Гурвица над действительными числами. Это действительные числа ℝ, комплексные числа ℂ, кватернионы ℍ и, наконец, октонионы 𝕆, где размеры этих пространств над действительными числами равны 1, 2, 4., и 8 соответственно. Канонические нормы для ℝ и ℂ являются их функциями абсолютного значения, как обсуждалось ранее.

Каноническая норма на ℍ для кватернионов определяется как

Конечномерные комплексные нормированные пространства

В n-мерном комплексном пространстве ℂ наиболее распространенной нормой является

В этом случае норма может быть выражена как квадратный корень из внутреннего произведения вектора и самого себя:

Эта формула действительна для любого внутреннего пространства продукта, включая евклидовы и комплексные пространства. Для сложных пробелов внутренний продукт эквивалентен сложному скалярному произведению. Следовательно, формулу в этом случае также можно записать, используя следующие обозначения:

Норма такси или Норма Манхэттена

Название относится к расстоянию, которое такси должно проехать в прямоугольной сетке улиц, чтобы добраться от исходной точки до точки x.

1-норма – это просто сумма абсолютных значений. колонн.

не является нормой, поскольку может привести к отрицательным результатам..

P-norm

Для p = 1 мы получаем норму такси, для p = 2 получаем евклидову норму, и когда p приближается к ∞, p-норма приближается к бесконечной норме или максимальной норме :

p-норма связана до обобщенного среднего или степенного среднего.

Это определение все еще представляет интерес для 0 < p < 1, but the resulting function does not define a norm, because it violates the неравенства треугольника. Что верно для этого случая 0 < p < 1, even in the measurable analog, is that the corresponding L class is a vector space, and it is also true that the function

(без корня pth) определяет расстояние что превращает L (X) в полное метрическое топологическое векторное пространство. Эти пространства представляют большой интерес в функциональном анализе, теории вероятностей и гармоническом анализе. Однако, за исключением тривиальных случаев, это топологическое векторное пространство не является локально выпуклым и не имеет непрерывных ненулевых линейных форм. Таким образом, топологическое двойственное пространство содержит только нулевой функционал.

Частная производная p-нормы задается как

Производная по x, следовательно, is

Для особого случая p = 2 это становится

Бесконечная норма, равномерная норма или норма супремума)

Набор векторов, бесконечная норма которых является заданной константой c, образует поверхность гиперкуба с длиной ребра 2c.

Нулевая норма

В метрической геометрии дискретная метрика принимает значение один для различных точек и ноль в противном случае. При применении координатно к элементам векторного пространства дискретное расстояние определяет расстояние Хэмминга, что важно в кодировании и теории информации. В области действительных или комплексных чисел расстояние дискретной метрики от нуля неоднородно в ненулевой точке; действительно, расстояние от нуля остается единичным, поскольку его ненулевой аргумент приближается к нулю. Однако дискретное расстояние числа от нуля действительно удовлетворяет другим свойствам нормы, а именно неравенству треугольника и положительной определенности. При покомпонентном применении к векторам дискретное расстояние от нуля ведет себя как неоднородная «норма», которая считает количество ненулевых компонентов в своем векторном аргументе; опять же, эта неоднородная «норма» разрывна.

В обработке сигналов и статистика, Дэвид Донохо ссылался на нулевую «норму » в кавычках. Следуя обозначениям Донохо, нулевая «норма» x – это просто количество ненулевых координат x или расстояние Хэмминга вектора от нуля. Когда эта “норма” локализована в ограниченном множестве, это предел p-норм, когда p приближается к 0. Конечно, нулевая “норма” не действительно норма, потому что это не положительный однородный. В самом деле, это даже не F-норма в описанном выше смысле, поскольку она разрывна, совместно и по отдельности, относительно скалярного аргумента в умножении скаляр-вектор и относительно его векторного аргумента. Злоупотребляя терминологией, некоторые инженеры опускают кавычки Донохо и неправильно называют функцию числа ненулевых норм L нормой, повторяя обозначение для пространства Лебега из измеримых функций.

Бесконечные измерения

Обобщение вышеуказанных норм на бесконечное число компонентов приводит к ℓ и L пространствам с нормами

для комплекснозначных последовательностей и функций на X ⊆ ℝ соответственно, которые могут быть дополнительно обобщены (см. мера Хаара ).

Другие примеры бесконечномерных нормированных векторных пространств можно найти в Banach пробел артикул.

Составные нормы

Другие нормы на ℝ могут быть построены путем объединения вышеуказанного; например

– это норма на.

Для любой нормы и любого инъективного линейного преобразования A мы можем определить новую норму x, равную

В 2D, с поворотом A на 45 ° и подходящим масштабированием, это изменяет норму такси на максимальную норму. Каждый A, применяемый к норме такси, вплоть до инверсии и смены осей, дает другой единичный шар: параллелограмм определенной формы, размера и ориентации.

В 3D это аналогично, но отличается для 1-нормы (октаэдры ) и максимальной нормы (призмы с основанием параллелограмма).

Есть примеры норм, которые не определяются «пошаговыми» формулами. Например, функционал Минковского центрально-симметричного выпуклого тела в (с центром в нуле) определяет норму на (см. § Классификация полунорм: абсолютно выпуклые поглощающие множества ниже).

Все приведенные выше формулы также дают нормы на ℂ без изменений.

Существуют также нормы на пространствах матриц (с действительными или комплексными элементами), так называемые матричные нормы.

В абстрактной алгебре

В Unicode кодовая точка символа «двойная вертикальная линия» ‖ – U + 2016. Двойную вертикальную линию не следует путать с символом «параллельно», Unicode U + 2225 (∥), который используется для обозначения параллельных линий в геометрии и оператор параллельного сложения в теории сетей, различных областях техники и прикладной электронике. Двойную вертикальную линию также не следует путать с Unicode U + 01C1 (ǁ), символом, используемым для обозначения боковых щелчков в лингвистике.

Матричные нормы “по входам”

Это норма, отличная от индуцированной p-нормы (см. выше) и p-нормой Шаттена (см. ниже), но обозначения те же.

Частный случай p = 2 – это норма Фробениуса, а p = ∞ – максимальная норма.

L2,1 и L p, q norm

Норма Фробениуса является субмультипликативной и очень полезна для числовой линейной алгебры. Субмультипликативность нормы Фробениуса может быть доказана с помощью неравенства Коши – Шварца.

Он также удовлетворяет

Максимальная норма

максимальная норма – это поэлементная норма с p = q = ∞:

Эта норма не является субмультипликативной.

Эквивалентность норм

Еще одно полезное неравенство между нормами матриц:

который является частным случаем неравенства Гёльдера.

для всех a ∈ 𝔽 и всех u, v∈ V,

Эквивалентные нормы

cq (v ) ≤ p (v ) ≤ C q (v).

нормы p и q эквивалентны тогда и только тогда, когда они индуцируют одну и ту же топологию на V. Любые две нормы в конечномерном пространстве эквивалентны, но это не распространяется на бесконечномерные пространства.