Основные теоретические положения. Случайные сигналы могут быть стационарными и нестационарными.
Случайные сигналы могут быть стационарными и нестационарными.
Для стационарного сигнала усредненные характеристики не зависят от выбора начального отсчета времени. В данной работе рассматриваются стационарные сигналы.
Основной характеристикой случайных сигналов являются функции распределения вероятностей их значений. По функциям распределения могут быть определены все другие характеристики сигнала, в том числе его среднее значение, дисперсия, корреляционная функция, вероятность попадания в заданный интервал значений.
Одномерная функция распределения вероятностей F (U) случайного сигнала x(t) есть вероятность того, что значение сигнала не превысит уровень U:
F (U) = P (x £ U).
Основные свойства функции F (U):
1. 0 £ F (U) £ 1, причем F (–¥) = 0, F (¥) = 1;
— вероятность попадания случайного сигнала x(t) в полузакрытый интервал
Для функции распределения F (U), имеющей производную, вводят понятие плотности вероятностей:
Основные свойства функции p (U).
4. Размерность p (U) равна обратной величине размерности случайного сигнала
5. p (U) ³ 0;
6. Функция распределения определяется выражением
7. Вероятность попадания случайной величины в интервал
Для исследуемых в работе сигналов предполагается выполнение условия эргодичности. Из него следует, что средние параметры случайного процесса, определенные по множеству реализаций, с единичной вероятностью равны средним параметрам, определенным по одной реализации.
Для таких сигналов одномерная функция распределения F (U) равна отношению времени, в течение которого значения сигналов не превышают заданный уровень U ко всему времени T измерения сигнала (3.2) (рис. 3.1, а):
Напряжение с выхода интегратора подается на вход «Y» осциллографа, а опорное напряжение на вход «Х». При медленном изменении опорного напряжения U на экране осциллографа появляется изображение F (U) — функции распределения вероятностей значений исследуемого случайного сигнала x(t).
Метод измерения плотности вероятности основан на формуле численного дифференцирования функции
для малых D U.
Если D U мало и постоянно, то p (U) пропорционально разности F (U + D U) – F (U), т. е. разности напряжений на выходах двух измерителей функции распределения сигналов x(t) при опорных напряжениях U + D U и U соответственно на первом и втором измерителях (рис. 3.2).
В работе исследуются функции распределения и плотности вероятности для следующих случайных сигналов.
Треугольный сигнал со случайной начальной фазой (рис. 3.3, а). Он имеет равномерное распределение вероятностей значений напряжения (рис. 3.3, б, в), описываемое следующими выражениями:
Шум усилителя. Он имеет гауссовскую функцию распределения (рис. 3.4, а, б). Для него
— среднее значение напряжения,
Напряжение x(t) на выходе амплитудного детектора. На вход детектора подается сумма двух сигналов: узкополосного шума
с гауссовским законом распределения вероятностей значений
и детерминированного гармонического сигнала
с постоянной амплитудой
; x(t) — огибающая суммы этих двух сигналов.
Напряжение x(t) имеет функцию распределения, соответствующую обобщенному закону Рэлея (рис. 3.5, а, б):
— дисперсия узкополосного шума
— амплитуда гармонического сигнала,
— модифицированная функция Бесселя нулевого порядка. Она табулирована; кроме того,
Гармонический сигнал с постоянной амплитудой и случайной фазой
и w — постоянные амплитуда и угловая частота, j — случайная фаза, распределенная равномерно на интервале
, т. е. плотность распределения фазы
и функция распределения фазы
Найдем функцию распределения напряжения случайного сигнала x(t). Это стационарный сигнал, поэтому можно положить t = 0. Тогда
. Из графика функции x(j) (рис. 3.6, а) видно, что вероятность события
) равна вероятности события
Используя определение функции распределения и выражение (3.6), последнее равенство можно записать в виде
Из рис. 3.6, авидно также, что
Плотность распределения вероятностей значений x:
приведены на рис. 3.6, би 3.6, в.
Согласно центральной предельной теореме теории вероятностей функция распределения суммы независимых случайных величин с близкими значениями дисперсий стремится к гауссовскому закону распределения при увеличении числа слагаемых, независимо от вида функций распределения слагаемых.
Аналитическое выражение для функции распределения суммы сигналов удобно получать через характеристическую функцию.
Характеристическая функция q(x) сигнала x(t) связана с плотностью распределения вероятностей p (x) преобразованием Фурье:
Для суммы случайных величин
характеристическая функция связана с совместной плотностью распределения вероятностей величин
Для независимых случайных величин
— характеристическая функция сигнала
Последовательное использование зависимостей (3.10), (3.9) и (3.8) позволяет получить плотность распределения вероятностей суммы независимых сигналов по известным плотностям распределения отдельных слагаемых.
Найдем распределение суммы двух независимых случайных сигналов с одинаковым равномерным распределением. Пусть
Характеристические функции сигналов
одинаковы и равны
Согласно выражению (3.10) характеристическая функция суммы сигналов
Плотность распределения вероятностей суммы сигналов
в виде суммы гармонических колебаний с равными амплитудами
и независимыми случайными фазами
, распределенными в интервале
Графики зависимостей p (x) приведены на рис. 3.8. Видно, что с увеличением числа слагаемых плотность распределения их суммы стремится к гауссовскому распределению (ср. с рис. 3.4 при
Не забудь поделиться страницей с друзьями:
Стационарный сигнал
Обратите внимание, что на приведенном рисунке, частотные составляющие сигнала отделены друг от друга и явно выражены в спектре, а их уровни легко дентифицировать. Эту информацию было бы очень непросто выделить из временной реализации.
На следующем рисунке видно, что события, перекрывающиеся друг с другом во временной области разделяются в частотной области на отдельные компоненты.
Временная реализация вибрации несет в себе большое количество информации, которая для невооруженного глаза незаметна. Часть этой информации может приходиться на очень слабые компоненты, величина которых может быть меньше, чем толщина линии графика. Тем не менее подобные слабые компоненты могут быть важны для выявления развивающихся неисправностей в машине, например, дефектов подшипников. Сама суть диагностики и обслуживания по состоянию, заключается а раннем обнаружении зарождающихся неисправностей, поэтому, необходимо обращать внимание и на чрезвычайно малые уровни вибрационного сигнала.
На приведенном спектре очень слабая компонента представляет небольшую развивающуюся неисправность в подшипнике, и она осталась бы незамеченной, если бы мы анализировали сигнал во временной области, то есть ориентировались на общий уровень вибрации. Поскольку СКЗ – это просто общий уровень колебания в широком частотном диапазоне, поэтому небольшое возмущение на подшипниковой частоте может остаться незамеченным в изменении уровня СКЗ, хотя для диагностики это возмущение очень важно.
Как выполняется частотный анализ?
Прежде чем приступить к процедуре выполнения спектрального анализа давайте взглянем на различные типы сигналов, с которыми нам предстоит работать.
С теоретической и практической точек зрения можно разделить сигналы на несколько групп. Различным типам сигналов соответствуют различные типы спектров, и во избежание ошибок при выполнении частотного анализа, важно знать характеристики этих спектров.
В первую очередь все сигналы делятся на стационарные и нестационарные. Стационарный сигнал имеет постоянные по времени статистические параметры. Если вы посмотрите несколько мгновений на стационарный сигнал и затем через какое-то время опять вернетесь к нему, то он будет выглядеть, по существу, тем же самым, то есть его общий уровень, распределение амплитуды и стандартное отклонение будут почти неизменными. Роторные машины производят, как правило, стационарные вибрационные сигналы.
Стационарные сигналы подразделяются далее на детерминированные и случайные. Случайные (нестационарные) сигналы непредсказуемы по своему частотному составу и уровням амплитуды, однако их статистические характеристики все-таки почти постоянны. Примеры случайных сигналов – дождь, падающий на крышу, шум реактивной струи, турбулентность в потоке газа или жидкости и кавитация.
Детерминированные сигналы представляют собой специальный класс стационарных сигналов. Они сохраняют относительно постоянный частотный и амплитудный состав в течение длительного периода времени. Детерминированные сигналы генерируются роторными машинами, музыкальными инструментами и электронными генераторами. Они подразделяются в свою очередь на периодические и квазипериодические. Временная реализация периодического сигнала непрерывно повторяется через равные отрезки времени. Частота повторения квазипериодической временной формы варьируется во времени, однако на глаз сигнал кажется периодическим. Иногда роторные машины производят квазипериодические сигналы, особенно это относится к оборудованию с ременной передачей. Детерминированные сигналы – это, по-видимому, наиболее важный тип для анализа вибраций машин, а их спектры схожи с приведенным здесь: Периодические сигналы всегда имеют спектр с дискретными частотными компонентами, называемыми гармониками или гармоническими последовательностями. Сам термин гармоника пришел из музыки, где гармоники – это целые кратные фундаментальной (опорной) частоты.
Нестационарные сигналы подразделяют на непрерывные и переходные. Примеры нестационарного непрерывного сигнала – вибрация, производимая отбойным молотком или артиллерийская канонада. Переходным, по определению, называют сигнал, начинающийся и заканчивающийся на нулевом уровне и длящийся конечное время. Он может быть очень коротким или довольно долгим. Примеры переходного сигналы – удар молотка, шум пролетающего самолета или вибрация машины на разгоне и выбеге.
Примеры временных реализаций и их спектров
Ниже приведены примеры временных реализации и спектров, иллюстрирующих важнейшие понятия частотного анализа. Хотя данные примеры в некотором смысле идеализированы, поскольку они были получены с помощью электронного генератора сигналов с последующей обработкой БПФ-анализатором. Тем не менее, они, определяют некоторые характерные черты, присущие спектрам вибрации машин.
Синусоидальное колебание содержит только одну частотную компоненту, а ее спектр – это единичная точка. Теоретически, истинное синусоидальное колебание существует в неизменном виде бесконечное время. В математике преобразование, переводящее элемент из временной области в элемент частотной области, называют преобразованием Фурье. Такое преобразование сжимает всю информацию, содержащуюся в синусоидальном колебании бесконечной продолжительности до единственной точки. На приведенном выше спектре единственный пик имеет конечную, а не нулевую ширину, что обусловлено погрешностью применяемого алгоритма численного расчета, называемого БПФ (см. далее).
В машине с дисбалансом ротора возникает синусоидальная возбуждающая сила с частотой 1Х, то есть один раз за один оборот. Если бы отклик такой машины был абсолютно линейным, то результирующая вибрация была бы также синусоидальной и подобна приведенной выше временной реализации. Во многих плохо сбалансированных машинах временная реализация колебаний действительно напоминает синусоиду, а в спектре вибрации имеется большой пик на частоте 1Х, то есть на оборотной частоте.
На следующем рисунке представлен гармонический спектр периодического колебания типа обрезанной синусоиды. Этот спектр состоит из компонент, разделенных постоянным интервалом, равным 1/(период колебания). Самая низшая из этих компонент (первая после нуля), называется основной, а все остальные – ее гармониками. Такое колебание было получено с помощью генератора сигналов, и, как видно из рассмотрения временного сигнала, оно несимметрично относительно нулевой оси (положения равновесия). Это означает, что сигнал имеет постоянную составляющую, превращающуюся в спектре в первую линию слева. Данный пример иллюстрирует способность спектрального анализа воспроизводить частоты вплоть до нулевой (нулевая частота соответствует постоянному сигналу или, другими словами, отсутствию колебаний).
Как правило, при вибрационном анализе машин нежелательно проводить спектральный анализ на таких низких частотах по ряду причин. Большинство датчиков вибраций не обеспечивают правильные измерения до 0 Гц, и только специальные акселерометры, применяемые, например, в инерциальных навигационных системах, позволяют это делать. Для машинных вибраций наименьшая представляющая интерес частота обычно составляет 0,3Х. В некоторых машинах это может быть ниже 1 Гц, Чтобы измерять и интерпретировать сигналы ниже в диапазоне ниже 1 Гц необходимы специальные методики.
При анализе вибрационных характеристик машин не так уж редко приходится видеть временные реализации, срезанные наподобие приведенной выше. Обычно это означает, что в машине возникла какая-то разболтанность, и что-то ограничивает движение ослабленного элемента в одном из направлений.
Показанный далее сигнал аналогичен предыдущему, но срез в нем имеет место как с положительной, так и с отрицательной сторон.
В результате временной график колебания (временная реализация) получается симметричным. Сигналы подобного типа могут возникать в машинах, в которых движение ослабленных элементов ограничено в обоих направлениях. В этом случае в спектре также будут спектр периодического сигнала присутствовать гармонические составляющие, однако это будут только нечетные гармоники. Все четные гармонические составляющие отсутствуют. Любое периодическое симметричное колебание будет обладать похожим спектром. Спектр сигнала квадратной формы также выглядел бы подобно этому.
Иногда похожий спектр встречается в машине с очень сильной разболтанностью, в которой смещение вибрирующих частей ограничено с каждой стороны. Примером этого является разбалансированная машина с ослабленными затяжными болтами крепления.
Спектр короткого импульса, полученный с помощью генератора сигналов, очень широкий.
Обратите внимание, что его спектр не дискретный, а непрерывный. Другими словами энергия сигнала распределена по всему частотному диапазону, а не сосредоточена на нескольких отдельных частотах. Это характерно для недетерминированных сигналов, таких как случайный шум и переходные процессы. Заметьте, что, начиная с определенной частоты, уровень равен нулю. Эта частота обратно пропорциональна длительности импульса, поэтому чем короче импульс, тем шире его частотный состав. Если бы в природе существовал бесконечно короткий импульс (говоря математически,- дельта-функция), то его спектр занимал бы весь частотный диапазон от 0 до +
При исследовании непрерывного спектра обычно невозможно сказать, принадлежит ли он случайному сигналу или переходному. Это ограничение присуще частотному анализу Фурье, поэтому, сталкиваясь с непрерывным спектром полезно изучить его временную реализацию. Применительно к анализу вибрации машины, это позволяет отличить удары, имеющие импульсные временные реализации, и случайный шум, вызванный, например, кавитацией.
Единичный импульс, подобный этому, редко встречается в роторных машинах, однако при ударном тесте этот тип возбуждения используется специально для возбуждения машины. Хотя ее вибрационный отклик не будет такой классически гладкой кривой, какая приведена выше, но тем не менее он будет непрерывным в широком частотном диапазоне и иметь пики на собственных частотах конструкции. Это означает, что удар является очень хорошим типом возбуждения для выявления собственных частот, так как его энергия распределена непрерывно в широком частотном диапазоне. Если импульс, имеющий приведенный выше спектр, повторяется с постоянной частотой, то результирующий спектр, который показан, здесь, будет уже не непрерывным, а состоящим из гармоник частоты повторения импульса, а его огибающая будет совпадать с формой спектра единичного импульса.
Подобные сигналы производят подшипники с дефектами (выбоины, царапины и т.п.) на одном из колец. Эти импульсы могут быть очень узкими, причем они всегда вызывают появление большой серии гармоник.
Модуляцией называют нелинейное явление, при котором несколько сигналов взаимодействуют друг с другом таким образом, что в результате получается сигнал с новыми частотами, отсутствовавшими в исходных. Модуляция – это бич звукоинженеров, поскольку она вызывает модуляционное искажение, досаждающее любителям музыки. Существует множество форм модуляции, включая частотную и амплитудную модуляцию. Давайте рассмотрим по отдельности основные ее типы. Показанная здесь частотная модуляция (frequency modulation – FM) есть варьирование частоты одного сигнала под воздействием другого, имеющего обычно более низкую частоту.
Модулируемая частота называется несущей. На представленном спектре максимальная по амплитуде компонента и есть несущая, а другие составляющие, которые похожи на гармоники, называют боковыми полосами. Последние располагаются симметрично по обеим сторонам от несущей с шагом, равным величине модулирующей частоты Частотная модуляция часто встречается в спектрах вибрации машин, особенно в зубчатых передачах, где частота зацепления зубьев модулируется оборотной частотой колеса. Она также имеет место в некоторых акустических динамиках, хотя и на очень низком уровне.
Частота временной реализации амплитудно модулированного сигнала, кажется постоянной, а ее амплитуда колеблется с постоянным периодом
Этот сигнал был получен посредством быстрого варьирования усиления на выходе электронного генератора сигналов в процессе записи. Периодическое изменение амплитуды сигнала с определенным периодом называют амплитудной модуляцией. Спектр в этом случае имеет максимальный пик на несущей частоте и по одной компоненте с каждой стороны. Эти дополнительные компоненты суть боковые полосы. Обратите внимание, что в отличие от частотной модуляции, приводящей к большому количеству боковых полос, амплитудная модуляция сопровождается только двумя боковыми полосами, которые располагаются относительно несущей симметрично на расстоянии, равном величине модулирующей частоты (в нашем примере модулирующая частота – это частота, с которой играли ручкой усиления при записи сигнала). В данном примере модулирующая частота значительно ниже модулируемой, или несущей, однако на практике они часто оказываются близкими друг к другу (например, на много роторных машинах, имеющих близкие частоты вращения роторов). Кроме того, в реальной жизни и модулирующий, и модулируемый сигналы имеют более сложную форму, чем приведенные здесь синусоиды.
Связь между амплитудной модуляцией и боковыми полосами можно наглядно представить в векторном виде. Представим временной сигнал в виде вращающегося вектора, величина которого равна амплитуде сигнала, а угол в полярных координатах – фазе. Векторное представление синусоидального колебания – это просто вектор постоянной длины, вращающийся вокруг своего начала со скоростью, равной частоте колебания. Каждый цикл временной реализации соответствует одному обороту вектора, т.е. один цикл – это 360 градусов.
Амплитудная модуляция синусоидального колебания в векторном представлении выглядит как сумма трех векторов: несущей модулируемого сигнала и двух боковых полос, Векторы боковых полос вращаются один чуть быстрее, а другой чуть медленней несущего.
Добавление этих боковых полос к несущей приводит к изменениям амплитуды суммы. При этом несущий вектор кажется неподвижным, как если бы мы находились в системе координат, вращающейся с несущей частотой. Заметим, что при вращении векторов боковых полос между ними поддерживается постоянное фазовое соотношение, поэтому суммарный вектор вращается с постоянной частотой (с частотой несущей).
Чтобы представить подобным образом частотную модуляцию, достаточно ввести небольшое изменение фазовых соотношений боковых векторов. Если боковой вектор меньшей частоты развернуть на 180 градусов, то возникнет частотная модуляция. При этом результирующий вектор качается вперед и назад вокруг своего начала. Это означает возрастание и убывание его частоты, то есть частотную модуляцию. Следует отметить также, что результирующий вектор изменяется по амплитуде. То есть наряду с частотной присутствует и амплитудная модуляция. Чтобы получить векторное представление чистой частотной модуляции, необходимо ввести в рассмотрение множество боковых векторов, имеющих точно определенные фазовые соотношения друг с другом. В вибрации оборудования почти всегда присутствует как амплитудная, так и частотная модуляция. В таких случаях, некоторые боковые полосы могут складываться в противофазе, в результате чего верхние и нижние боковые полосы будут иметь различные уровни, то есть не будут симметричны относительно несущей.
Приведенная временная реализация похожа на амплитудную модуляцию, однако, в действительности, это лишь сумма двух синусоидальных сигналов с немного отличающимися частотами, которая называется биение.
Из-за того, что эти сигналы немного различаются по частоте, их разность фаз изменяется в пределах от нуля до 360 градусов, а это означает, что их суммарная амплитуда будет то усиливаться (сигналы в фазе), то ослабляться (сигналы в противофазе). В спектре биения присутствуют компоненты с частотой и амплитудой каждого сигнала, и полностью отсутствуют боковые полосы. В данном примере амплитуды двух исходных сигналов различны, поэтому они не полностью взаимоуничтожаются в нулевой точке между максимумами. Биение – это линейный процесс: оно не сопровождается появлением новых частотных компонент.
Электродвигатели часто генерируют вибрационные и акустические сигналы, напоминающие биения, в которых частота лже-биения равна удвоенной частоте проскальзывания. В действительности, это есть амплитудная модуляция вибрационного сигнала удвоенной частотой проскальзыаания. Такое явление в электродвигателях иногда также называют биением, вероятно, по той причине, что при нем механизм звучит как расстроенный музыкальный инструмент, “бьет”.
Этот пример биений аналогичен предыдущему, однако уровни складывающихся сигналов равны, поэтому они полностью взаимоуничтожаются в нулевых точках. Подобное полное взаимоуничтожение весьма редко встречается в реальных вибрационных сигналах роторного оборудования.
Выше мы видели, что биения и амплитудная модуляция имеют похожие временные реализации. Это действительно так, но с небольшой поправкой- в случае биений имеет место сдвиг фазы в точке полного взаимоуничтожений сигналов.
