Некоторые диффузионные задачи, встречающиеся при анализе свойств покрытий
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия
В работе проанализирован ряд сопряженных задач диффузии, полезных при анализе свойств покрытий в различных частных случаях. Продемонстрировано, в частности, различие между адсорбционными и диффузионными покрытиями, показана роль массо-отдачи в окружающую среду и объемной химической реакции и др. В большинстве рассмотренных задач найдены точные или приближенные аналитические решения, которые могут быть полезны в обратных задачах, при отладке компьютерных программ для более полных математических моделей, для оценки физико-механических свойств покрытий и остаточных напряжений и др. Сделано краткое введение в круг нелинейных диффузионных задач, которые возникают при учете структурной неоднородности реальных сред.
кого решения наиболее пригоден операционный метод. Поэтому подробные выкладки приведены лишь там, где это необходимо для нахождения асимптотического приближения, а весь предложенный набор задач можно считать своеобразным обзором простейших сопряженных задач теории диффузии.
Полученные аналитические решения, равно как и более сложные численные модели, имеют практическое приложение. Во-первых, они могут быть использованы в дальнейшем для оценки возможного распределения механических свойств материалов с покрытиями по глубине. Например, по правилу смеси, для модуля Юнга (модуля упругости) Е и модуля сдвига G можем записать
Е = Е СЕ, G = Е ед.,
2. Простейшая модель диффузии примеси в системе «материал — покрытие»
Пусть свойства покрытия и характер переходной зоны между двумя материалами определяются, в основном, концентрацией одного элемента, например углерода, азота, водорода или др. В этом случае простейшая модель описывает диффузию элемента в основной материал из слоя малой толщины, так что распределением концентраций в нем можно пренебречь (рис. 1). МатеРис. 1. Иллюстрация к построению одномерной модели
матическая формулировка задачи включает уравнение диффузии в основном материале
ЭС = в д_С
х = 0: ЭIе = hСД0) = Со,
х : В———= 0 или С = 0,
С(х, 0) = 0,
где С^) — концентрация элемента в слое толщиной ^ D — коэффициент диффузии элемента в основном материале. При напылении или наплавке покрытия h в первом приближении можно считать равной толщине расплавленного слоя с известной (исходной) концентрацией подвижного элемента.
С = С0 ехр
/ 7~Л Л ( х В 1
— + —г t ег£с
При х = 0, т.е. в покрытии, имеем
Если t << h2/Э, то используя разложение функций в сходящиеся ряды для малых значений аргумента, найдем
12 ТВ 4л h
С — С^_
С ~ С0 1—^Г&
3. Учет потерь массы в окружающую среду
х = 0: В ^ = И + Р(С — Се), С1(0) = С0, (7)
где в — эффективный коэффициент массоотдачи; Се — концентрация элемента в окружающей среде. Не умаляя общности, можем принять Се = 0.
Решение задачи (1), (3), (4), (7) в пространстве изображений по Лапласу ^ ^ р, С ^ С) имеет вид
ph + 3 + ^рВ
h г( Г і ■4р ыр+~т
Переходя в (9) к оригиналам, найдем
С = С(в = о)—^1 —егіс
ч h h2 у
где первое слагаемое С (3 = 0) есть решение (5) предыдущей задачи.
Не представляет особого труда записать и точное решение задачи, используя теорему Эфроса и правило умножения изображений.
2й 2й2 ) I 2й 4й2
( х2 Л
2. В случае Э < 4йР, что соответствует, например, очень летучему подвижному компоненту, найдем:
С(, х) =
ф(г, х) = sin
(г 2 ф(г, х)е 2 Iм dz,
^4рй — В
Л ( ехр
(^л/В — х)
П(у) — единичная функция Хевисайда.
3. Реальной является ситуация, когда внутренняя диффузия преобладает над внешней. Тогда диффундирующий элемент распределен в системе в соответствии с уравнением
С^, х) =—С°х
—^=- + а91
— а1 ехр
г + а1^ї
л/В-УВ-фй = л/В + д/ В — 43й
Решение в такой форме не очень удобно для качественного анализа. Поэтому в дальнейшем ограничимся простым приближением (10).
В (5) и (10) перейдем к безразмерным переменным, удобным для анализа,
Ъ = Т, т = —,
где 4 = И2/В. В этих переменных решение первой задачи зависит всего лишь от одного параметра (причем
не вызывает затруднений замена переменных, при которой параметров нет вообще С = С/С0):
С = С0 ехр(^ + т) ег
(г ^ л
Толщину диффузионного слоя можно определить
различным образом. Определяя ее как расстояние, на
а-, — а
Рис. 2. Распределение концентрации диффундирующего элемента в поверхностном слое обрабатываемого материала без учета (у = 0) (а) и с учетом (у = 0.25) (б) потерь массы в окружающую среду: т = 0.1 (1); 0.5 (2); 2 (3); 8 (4)
котором концентрация элемента уменьшается по сравнению с концентрацией в точке £ = 0 в е раз, найдем
ехр(£д + т) е^(УТ + £д/2л/т) = 1 ехр(т) ег(л/т ) е
Уравнение (10) принимает в новых переменных вид
С = С0 ехр(£ + т) егйс
— С0IV ейс
— 2ул/-ехр V п
— у(1 — £ — 2т)ехр(£ + т) егйс
Характер распределения концентрации элемента в основном материале, соответствующий двум рассмотренным задачам, качественно показан на рис. 2. Очевидно, чем больше коэффициент массоотдачи (или параметр у), тем меньшее количество элемента попадает в основной материал. Толщина диффузионного слоя, определенная аналогично (12) для этой задачи из условия
С (т, £а) = 1
С(т, 0) е ’
будет превышать толщину диффузионного слоя без учета массоотдачи. Толщина диффузионного слоя, определенная по достижению концентрацией некоторого условного значения С*, в зависимости от времени представлена на рис. 3 для различных у.
За эффективную толщину покрытия примем величину
keff = к + ХД (14)
или в безразмерных переменных £ ей1 = 1 + £ Д.
Для того чтобы увеличить содержание элемента в покрытии, можно порекомендовать в этой ситуации изРис. 3. Зависимость толщины диффузионного слоя от времени для различных значений параметра у: у = 0 (1); 0.1 (2); 0.25 (3)
менить условия взаимодействия с окружающей средой (т.е. уменьшить у) или обеспечить «ловушки» для диффундирующего элемента в объеме, что и предпринимается в реальных экспериментальных исследованиях.
4. Диффузия с реакцией в объеме
дС=в Ц — hc.
Решение уравнения (15) с условиями (3), (4), (7) в пространстве изображений по Лапласу имеет вид:
hp + Р + У D(p + ki)
Опять ограничимся приближением, корректным для больших значений комплексной переменной р, чтобы найти решение в удобной для анализа форме. Тогда аналогично (9) имеем
С = С,
■yjp + к1 Ц p + k1 + VD/h)
h (р + ^)(У р + k +VD/h)
Переходя к оригиналам с использованием таблиц интегральных преобразований, получим
C(t, х) = C0e к1 exp
— C0e~k1 (- hk1 )x
x +-J Dt
Вообще говоря, уравнение (15) должно решаться совместно с уравнением
— = k2c, C2(0) = o,
где С2 — концентрация вновь образующегося соединения. Константы к1 и к2 различны вследствие различия стехиометрических коэффициентов компонентов С и С2 в реакции. Используя решение (16), найдем
С2 = к2 с . р
Для больших значений р, переходя к оригиналам, получим
C2(t, х) = k2J C(z, x)dz.
В безразмерных переменных £ и т уравнения (17) и (19) принимают вид
( £2 ^ 4т
С2 (т, £) = К21 С1(г, £) dz.
5. Образование адсорбционного слоя
Предположим, что элемент накапливается в адсорбционном слое, толщина которого ха меняется по мере его накопления, а дальнейшего проникания этого элемента вглубь основного материала не наблюдается* (рис. 5). В этом случае в первой задаче вместо условия (3) имеем
х = х (t): -D = —-, ха(0) = 0,
C(ха, t) = 0,
C = A + B erf —=
Рис. 4. Распределение концентрации диффундирующего элемента в поверхностном слое обрабатываемого материала в задаче с объемной реакцией: у = 0; сплошная линия — к = 0.001; пунктирная линия — к = 0.01. т = 0.1 (1); 2 (2); 8 (3)
erf (z) = —j=j exp(- x2)dx = 1 — erfc(z) . Vn 0
2^Dt J dt ’
D dt ’
C1 = -h. P dClerf
1 Vd dt
ґ \ xa
Следовательно, интегрируя в этом уравнении, имеем
C (t, x ) = C0 exp I — j d
1 erf( x/ 2^Dt)
Рис. 5. Качественное распределение диффундирующего элемента при образовании адсорбционного слоя (адсорбционного покрытия):
т1 < т2 < т3 < т4 < т5
Используя соотношения (23) и условие на подвижной границе (20), найдем уравнение для определения закона движения этой границы
дха = С0 ехр(- х^/4 ) х
Тогда для определения константы а имеем уравнение
ал/п erf (a) = C0 exp(-a2). (25)
0 1 2 \
концентраций компонентов, в окрестности раздела сред двух материалов, чем в случае диффузионного покрытия, что может иметь нежелательные последствия.
6. Учет предела растворимости
До сих пор мы полагали, что рассматриваемый элемент неограниченно растворим в матрице или в адсорбционном слое. Предположим теперь, что Ср — максимально возможная концентрация элемента на поверхности основного материала (предел растворимости), причем Ср << С0. В этом случае во всех рассмотренных задачах на границе х = 0 концентрация — разрывная функция, т.е. дополнительно к условию (2) имеем
с (0, t) = Cp.
Решение задачи об образовании адсорбционного слоя (1), (2), (20), (21), (26) вновь ищем в виде (22). Используя граничные условия (21) и (26), получим
C = Cp — Cp erf
2^Dt У I 2^Dt
Подставляя (27) в условие (20), найдем дифференциальное уравнение для определения закона движения границы адсорбционного слоя
Этому уравнению удовлетворяет решение вида (24) (где вместо С0 стоит Ср), причем константа в параболическом законе взаимодействия является корнем трансцендентного уравнения (25). Для малых значений а справедливо приближенное равенство
В результате распределение концентрации в системе «материал — покрытие» будет описываться уравнениями
C = Cp — Cperf
с1 ~ с0 7
/erf(a), 0 < x < xa,
~4t, x = 0.
h V п erf (a)
В безразмерных переменных £ и т имеем
с (т,;)=с p
1 — erf 2л/7)&
Сі(т) = Co
erf (a )\ n
Распределение концентрации, характерное для этого случая, показано на рис. 6.
Рис. 7. Распределение концентрации диффундирующего элемента при образовании диффузионного покрытия: т = 0.1 (1); 0.5 (2); 2 (3); 5 (4); 11.5 (5)
С = Срег
, С! = С -2Ср^/
С (£, т) = Срег
С1(т) = С — 2С
Качественное распределение концентраций, характерное для диффузионного покрытия, будет иметь вид, показанный на рис. 7, а временные зависимости для глубины адсорбции £а = ха/h в сравнении с толщиной диффузионного слоя £а = ха/h, удовлетворяющие уравнениям
£ а = 2^л/т и егГс
показаны на рис. 8. Вторая зависимость является универсальной и не зависит от величины Ср. При условии Ср << С0 кривая £а(т) лежит всегда ниже кривой £а (т), тем более если в расчетах учесть, что Ва << В, где Ва — коэффициент диффузии в адсорбционном слое.
Рис. 8. Зависимость толщин диффузионного и адсорбционного слоев от времени в задаче с учетом наличия предела растворимости. Значение предела растворимости указано на рис. 6 и 7. В качественных оценках принято, что В = Ва
7. Распределение диффундирующего элемента в покрытии
Представленные выше задачи ничего не говорят о распределении диффундирующих элементов в самом покрытии, тем не менее это важно для определения его свойств. Характер распределения элемента следует из решения сопряженной задачи вида
I = 1, 2,
х = 0: В= В дС2
х = -Н: В1 ^ = в(С — Се), дх
t = 0: С1 = С0, С2 = 0,
где индекс «1» относится к покрытию, «2» — к основному материалу. Остальные условия зависят от характера рассматриваемой задачи. Так, если предел растворимости элемента в основном материале Ср << С0, то второе условие на границе контакта материалов имеет вид (26)
С 2(0, t) = Ср.
В общем случае это условие будет справедливо до тех пор, пока максимальная концентрация диффундирующего элемента в материале покрытия больше предела растворимости этого элемента в материале основы. Когда это условие перестанет выполняться, следует перейти от (39) к равенству концентраций на границе раздела сред
СМ) = С2М).
В случае образования диффузионного слоя корректно условие (3) при х ^ ^
В2 —2 = 0 или С2 = 0, дх
а при образовании адсорбционного слоя — условие (14)
х = ха(0: — В2 = дхК ха(0) = 0
В принципе, не решая сопряженных задач, на основе описанных выше результатов можно сделать выводы о характере распределения концентрации элемента в покрытии и основном материале для этих двух случаев при учете потерь элемента в окружающую среду.
Проведем приближенные аналитические оценки в задаче (35)—(38), (40), (41). Точное аналитическое решение этой задачи для в = 0 легко находится операционным методом. В пространстве изображений по Лапласу имеем
р р(1 + K?)Z&
еЧр/В1 +^р/В1 + е~Чр/В1 -ху1р/в1
Z = еЧр/В1 +ее ~Чр1В1
^р/В -^р/В2 — е ~Чр/В1 -хт1р/В2
где е =
Ке- в1 ——В2
Е (-е)к х
р р(1 + Ке)к=0
р(1 + Ке ) к=0
Е (- е)к х
х — И +
х + И +
С = С + ег
Е (-е )к
(1 + Ке )к=0
2(к + 1)И -1 х
х + 2кИ
С = С0Ке ^
х + И + 2кИ/ К
х — И + 2кИ/Ке
Для качественных оценок в (44) вполне можно ограничиться одним-двумя членами ряда. Тогда, например, на границе раздела двух материалов с точностью до 0( е2) имеем
С1 = С2
Ке + (1 — е)ег И
4 вt V. у /
Если t << И у В1 , что соответствует малому времени наблюдения по сравнению с характерным временем диффузии для материала покрытия, то, используя асимптотическое представление интеграла ошибок, получим оценку
к -„ -е)е-У^. 2 Ил/п
х-к ) — М-*!+. к
т.е. концентрация на границе раздела материалов уменьшается как t_12, что имело место и в упрощенной формулировке задачи.
Если в ф 0, ограничимся приближенными оценками. В пространстве изображений по Лапласу точное решение задачи (35)—(38), (40), (41) имеет вид
С, = Со Со _еА^рО;
р(; + К е) рЦ D1Р + в)
Р(1 + К е)
Р(^Р + в)
С2 — —
С0КЕ ( еЧР/51 —Ке~ЧР51
к ЕвСо (1 + е) р(4^р+в)
К < 1.
Полагая, что вД/51 р << 1, что справедливо для случая, когда внутренняя диффузия преобладает над внешней, или для малого времени наблюдения, соответствующего большим значениям комплексной переменной р, представим знаменатель (49) в виде
2 = еЧр/51 1 + Ее~^ 1 IX
Следовательно, распределение концентрации в покрытии найдем в форме
Со Со е -(И+а еА4р51 1 Е в 1
Р Р е 1 + К е 4р5; +в
С, = С, (з — о)+/ (р, в).
Аналогичным образом преобразуется решение для концентрации в основном материале. Далее, пренебрегая в (50) слагаемыми порядка Зе, в2 и менее и переходя к оригиналам, получим
С, = С, (в — о)-Со ег
Л ( + ехр
( 7^1 I Л
2А — х +——!_ ег
( ЗА — X Л
Из (51) следует достаточно очевидный вывод о том, что потери массы в окружающую среду приводят к уменьшению концентрации легирующего элемента в покрытии, что следовало и из упрощенной постановки задачи. Качественное распределение концентраций в покрытии может быть полезно для оценки характера распределения каких-либо физических свойств, но здесь более корректно прибегать к численному решению полной задачи, где не делается ограничений на параметры.
Распределения диффундирующего элемента в покрытии для различных значений у, полученные при численном решении по явной разностной схеме, показаны на рис. 9.
8. Плохая смачиваемость твердой поверхности расплавом
Рис. 9. Распределение концентрации в окрестности границы раздела двух сред в различные моменты времени для у — 8 -Ю (а) и у = 8 (б).
£ — х/А; h = 0.002 м. 5, — 2.5 — 1о-9 м2/с, 52 — 5.о — 1о-9 м2/с. t = 0.1 (1); 10 (2); 75 (3); 200 (4); 350 (5); 700 (6)
С _ с _ ар2 эс2
В частном случае в = 0 решение задачи в пространстве изображений по Лапласу имеет вид
С _ ^0 _ ^0
1 Р Рг
е-4 р/°\ (_ *1) + є4р!°\ ( _ х1)
1 + -А^БіР
1 + К с
, Є < 1, К е
Учитывая, что А — малая величина, ограничимся далее простым приближением. С точностью до малых величин порядка О (А2, е 2, Ае о), где
ЄП _можем записать
2к єА 7″2Р
Є ~ Є П
1 + кЄ
1 + єе-2Іг4Р°1 1 + КЄ
2-А. к єТБР
(1 + к є)2
1+Ак^/Б2Р (1 + к є)°з
В результате решение этой задачи можно будет представить в виде
С = С (А — о )+а-с&,
что удобно для перехода в пространство оригиналов и дальнейшего анализа.
Окончательное решение в пространстве изображений этом случае будет иметь вид
С — С0 _ СП Е
1 + кЄ Р Б3 (1 + кє)2УР
? * 1 + е 1
А кє V Б2 1 х
Б3 (1 + кє)3 ТРХ
(_є П )п ;
с 2 — Сп Е
кє 1 А к27БТ 1
1 + кє Р °3 (1 + кє)2 ТР
е & 1 _ е & 1
_А к Є ^л/РТ _1_ х
Рз (1 + кє)3ТР
_ и^(2к(п+1)+кех) _ 2к(п+2)+кх)
. V 1 + е V 1
(_Є п У.
Переходя в (55) к оригиналам, найдем
С — Сп _ Сп Е
^ 2кп + 1 х1 А
V J! А к єУ»! 1 х
А к єУ Р2 1
Ст — Сп Е
2к(п +1)+ к Є х
V У( Л, . ^ \2 А
к Є2УРТ 1 ; Рз 2 + кє)2 УПТ
(кп + кє х )2 4 Д/
(2к(и +1)+ кє х)& 4 Д/
А кє2Уд 1
Рз (1 + кє)3 л/П”
(2к(п + 2)+ кє х)
(2к(п +1)+ к Є х) 4Р1/
1+к 2к Є Ут \ У
(1+к Є)2 УЛТ
(_є П )п;
2(п +1)+ к Є£, 2к ^л/Т
(1 + к Є)2 УПт
2 + к є^)
( +1)+ к £)
(1 + к Є)3 л/Пт
^ (2(п +1)+ кІ;)2 А 4тк 2
(2(п + 2)+ к, 0 4тк2
■(_ Є о У
В отличие от предыдущего распределение концентх А 52
раций теперь зависит от двух параметров о ———2 и
9. Учет перекрестных потоков
•^а, к — -5аа, к^СА, к — 5
&АВ, к ^СВ, к, ^Са к — 5ВВ, к VCB, к ,
к —1,2, (58)
5ВА, к ^ 5АВ, к,
На границе между областями 1 и 2 справедливы условия
X — 0 : JAy 2 — JА,1, СА — СА, 1 — СА, 2;
JB,2 — JВ, 1; СВ — СВ, 1 — СВ, 2.
Условия на внешней границе аналогичны предыдущему
JА,1 — 0, — 0. (61)
В начальный момент времени г — 0 имеем
СА,1 — СА0, СВ,1 — СВ0, СА,2 — СВ,2 — 0. (62)
10. Сложные среды и нелинейные модели
Как правило, реальные материалы представляют собой сложные неоднородные среды, обладающие внутренней структурой. Это относится и к сплавам, и к поверхностно-обработанным материалам.
что приводит к нелинейному уравнению диффузии и необходимости численного решения задачи.
Другой способ учета реальной структуры — переход к обобщенному закону Фика
J —-5УС — г,
приводящему к уравнению диффузии гиперболического типа. Здесь J — диффузионный поток; гг — время реРис. 10. Распределение концентрации в окрестности границы раздела двух сред в различные моменты времени при учете перекрестных потоков элементов, диффундирующих из слоя конечной толщины в полубесконечную пластину: £ — ХА; h = 0.002 м; ? = 0.1 (1); 10 (2); 75 (3); 200 (4); 350 (5); 700 (6);
-9 • пВ) — 10-11- Л(1) — 10-11- п I1) — 1
5А2) — 5 . 10-10; 5(2) — 2 • 10-11; 5ВА — 2 • 10-11; 5(3) — 3 • 1
в — 5*1) — 2.5 • 10-9; 5(1 — 2.5.10-9; DB^) —10-10; 50 —1.1.10-10; 5*?) — 5 • 10-10; 5(2) — 5.10-10; 5^ — 3.10-11; 5В2) — 3.1.10-1
Рис. 11. Распределение концентрации в окрестности границы раздела двух сред в различные моменты времени в нелинейной задаче без учета (у = 0) (а) и с учетом потерь массы (у = 20) (б): £ — х/А; h = 0.002 м; 50 —10-9 м2/с, а = 5; Ь = 10; г = 0.1 (1); 10 (2); 75 (3); 200 (4); 350 (5); 700 (6)
J — — 5(УС )р,
В качестве примера влияния нелинейных эффектов рассмотрим модель образования диффузионного покрытия (1), (3), (4), (7), в которой учтем зависимость коэффициента диффузии от концентрации (63). Численное решение задачи проведено по явной разностной схеме при выполнении условия
5(Аг)/(Ах)2 < 0.5.
Примеры расчетов представлены на рис. 11 для различных у. Видно, что распределения концентраций в диффузионном слое существенно отличаются от распределений, представленных на рис. 2.
Качественное распределение диффундирующего элемента в при образовании адсорбционного слоя показано на рис. 6, б.
Понятия о роли и свойствах внутренних поверхностей претерпевают большие изменения в зависимости от того, об изучении какого физического или химического процесса идет речь. Так, в различных областях физической химии и макрокинетики понятие «поверхность раздела» меняется от мономолекулярного слоя между фазами (или реагентом и продуктом) до более или менее протяженной переходной зоны, где происходит изменение физических свойств или перестройка кристаллической решетки. В соответствии с этим меняется и математическое описание процессов в окрестности границ раздела, что можно проследить, например, при изучении истории развития задачи Стефана и ее обобщений, моделей теории горения и реакционной диффузии или описания условий фазового равновесия в термодинамике и механике. Существует целый ряд задач механики, где выделение переходной или двухфазной зоны позволяет более корректно описать те или иные процессы. Методы описания диффузии по границам зерен и фаз в твердых веществах восходят к именам Фишера, Каур, Густа. Но даже более поздние обобщения этих моделей не учитывают в явном виде энергетические характеристики поверхностей раздела и переходных областей, что наиболее важно для физико-химических превращений и оценки эффективных свойств материалов. В рамках термодинамики возможно описание
роли диффузии и структурных неоднородностей в различных физических и механических процессах на основе термодинамической теории релаксации.
Подобные теории, а также диффузия в неизотермических условиях, требуют специального рассмотрения.
Таким образом, на основе известных и оригинальных сопряженных задач продемонстрировано, что немонотонное распределение концентраций элементов (а следовательно, и физико-механических свойств) в окрестности границ раздела «основной материал — покрытие» обеспечивается различными физическими и химическими процессами. Показано, в частности, что положение экстремумов в концентрациях может не совпадать с исходной границей раздела. На частных примерах проиллюстрированы возможности аналитических методов в оценке распределений концентраций элементов. Результаты могут быть использованы при анализе свойств внутренних границ раздела и их влияния на механические процессы в задачах физической мезомеха-ники.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 00-15-99278).
Литература
1. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. — М.: Наука, 1987. — 502 с.
2. Бокштейн Б.С. Диффузия в металлах. — М.: Металлургия, 1978. 248 с.
3. Хасуи Ацуси Моритаки О. Наплавка и напыление. — М.: Машиностроение, 1985. — 239 с.
4. Авторадиография поверхностей раздела и структурная стабильность сплавов / Под ред. Б.С. Бокштейна, С.С. Гинзбурга, С.Т. Кишкина, И.М. Разумовского, Г.Б. Степанова, Г.Б. Строганова. — М.: Металлургия, 1987. — 272 с.
5. Модифицирование и легирование поверхности лазерными, ионными и электронными пучками / Под ред. Дж.М. Поута, Г. Фоти, Д.К. Джекобсона. — М.: Машиностроение, 1987. — 427 с.
6. Химико-термическая обработка металлов и сплавов: Справочник / Под ред. Л.С. Ляховича. — М.: Металлургия, 1981. — 424 с.
7. Ершов Г.С., Майборода В.П. Диффузия в металлургических расплавах. — Киев: Наукова Думка, 1990. — 224 с.
8. Каур И., Густ В. Диффузия по границам зерен и фаз. — М.: Машиностроение, 1991. — 448 с.
9. Ворошнин Л.Г., Хусид Б.М. Многокомпонентная диффузия в гетерогенных сплавах. — Минск: Вышейшая школа, 1984. — 142 с.
10. Боровский И.Б., Гуров К.П., Марчукова И.Д., Угасте Ю.Э. Процессы взаимной диффузии в сплавах. — М.: Наука, 1973. — 360 с.
11. Александров Л.Н., Любов Б.Я. Теоретический анализ кинетики распада пересыщенных твердых растворов // УФН. — 1961. -Т. LXXV — Вып. 1. — С. 117-150.
12. Кукушкин С.А., Слезов В.В. Распад и кристаллизация многокомпонентных твердых растворов и расплавов при наличии стоков и источников тепла и вещества // Хим. физика. — 1993. — Т. 12. -№ 1. — С. 104-113.
13. Гидромеханика и тепломассообмен при получении материалов. -М.: Наука, 1990. — 296 с.
14. Физико-химические процессы обработки материалов концентрированными потоками энергии. — М.: Наука, 1989. — 268 с.
15. Любов Б.Я. Математический анализ процессов теплопроводности и диффузии в металлических материалах // ФММ. — 1989. — Т. 67. -Вып. 1. — С. 5-35.
16. Еремеев В.С. Диффузия и напряжения. — М.: Энергоатомиздат, 1984. — 194 с.
17. Криштал М.А. Ускоренный и недиффузионный перенос в неоднородных твердых телах // Сб.: Физика прочности и пластичности металлов и сплавов. — Куйбышев: Изд-во КПТИ, 1981. — С.71-80.
18. Архаров В.И. О микромеханизме реакционной диффузии // Сб.: Диффузионные процессы в металлах. — Тула: Изд-во ТПУ, 1973. -С. 111-124.
19. Дыбков В.И. Реакционная диффузия: хронология, достижения и пути дальнейшего развития // Металлофизика и новейшие технологии. — 2000. — Т. 22. — № 2. — С. 61-66.
20. Анциферов В.Н. Особенности гомогенизации химически неоднородных материалов // Изв. вузов. Черная металлургия. — 1985. -№ 7. — С. 122-126.
21. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. — М.: Наука, 1964. — 488 с.
22. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы теории теплопроводности: В 2 т. — М.: Высшая школа, 1982. — Т. 1. — 327 с., Т. 2. — 304 с.
23. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. — М.: Высшая школа, 1985. — 480 с.
24. Архаров В.И. Мезоскопические явления в твердых телах и их мезоструктура // Сб.: Проблемы современной физики. — Л.: Наука, 1980. — С. 357-382.
25. Мержанов А.Г, Хайкин Б.И. Теория волн горения в гомогенных средах. — Черноголовка, 1992. — 161 с.
26. Рыгкалин Н.Н. Расчеты тепловых процессов при сварке. — М.: Машгиз, 1951. — 296 с.
27. Лазерная и электронно-лучевая обработка материалов: Справочник / Н.Н. Рыкалин, А.А. Углов, М.В. Зуев, А.Н. Корова. — М.: Машиностроение, 1985. — 496 с.
28. Любов Б.Я. Диффузионные процессы в неоднородных твердых средах. — М.: Наука, 1981. — 296 с.
29. Бутов В.Г., Губарьков Д.В., Князева А.Г. Распределение концентрации диффундирующего элемента в трехслойной системе и оценка коэффициента диффузии на основе решения обратной задачи // Физ. мезомех. — 2000. — Т. 3. — № 6. — С. 105-112.
30. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1972. — 736 с.
31. Браверман Б.Ш., Лепакова О.К., СараевЮ.Н., ПолновВ.Г., Макарова Л.И., Козлов А.В., Кирилова Н.В. Получение нитрида хрома и его использование для изготовления высокоазотистых покрытий // Сварочное производство. — 2000. — № 12. — С. 8-10.
32. Лыков А.В. Теория теплопроводности. — М.: Высшая школа, 1967.- 599 с.
33. Романков П.Г., Рашковская Н.Г., Фролов В.Ф. Массообменные процессы в химической технологии (системы с твердой фазой). -Л.: Химия, 1975. — 336 с.
34. Любов Б.Я. Диффузионные изменения дефектной структуры твердых тел. — М.: Металлургия, 1985. — 206 с.
35. Любов Б.Я. Теория кристаллизации в больших объемах. — М.: Наука, 1975. — 256 с.
36. Лодиз Р., Паркер Р. Рост монокристаллов. — М.: Мир, 1974. -540 с.
37. Князева А.Г. О распределении температуры, напряжений и деформаций в системе «материал — покрытие» при условии неиде-альности теплового контакта между веществами // Физ. мезомех. -2000. — Т. 3. — № 1. — С. 39-51.
38. Старк Дж. Диффузия в твердых телах. — М.: Энергия, 1980. -240 с.
39. Щербединский Г.В. Диффузия в многокомпонентных системах // Сб.: Диффузионные процессы в металлах. — Тула: Изд-во ТПУ, 1973. — С. 38-52.
40. Князева А.Г., Савицкий А.П. Об оценке объемных изменений в диффузионной зоне. 1. Изотермическое взаимодействие двух полу-бесконечных сред // Изв. вузов. Физика, 1997. — Т. 40. — № 5. -С.19-27.
41. Князева А.Г., Савицкий А.П. Об оценке объемных изменений в диффузионной зоне. 2. Диффузия компонентов в составной пластине конечной толщины // Изв. вузов. Физика. — 1997. — Т. 40. № 6. — С. 48-56.
42. Любов Б.Я. Задачи кинетической теории точечных дефектов в реальных твердых телах. II. Двух- и трехкомпонентные системы // Изв. АН СССР. Сер. Металлы. — 1990. — № 6. — С. 100-113.
43. Буевич Ю.А., Вайсблат П.М. К модели диффузионного насыщения гетерогенных металлов // ИФЖ. — 1990. — Т. 58. — № 6. -С. 995-1002.
44. Буевич Ю.А., Вайсблат П.М. Кирнос В.И. и др. О моделировании диффузии при термоциклических воздействиях на металл // ИФЖ. — 1990. — Т. 58. — № 2. — С. 278-285.
45. ТагановИ.Н. Моделирование процессов массо- и энергопереноса. Нелинейные системы. — Л.: Химия, 1978. — 208 с.
46. Некрасов Е.А. Феноменологическое описание взаимной диффузии в неоднородной области многокомпонентных сплавов // Изв. АН СССР. Сер. Металлы. — 1990. — № 3. — С. 198-205.
47. Некрасов Е.А. Кинетика диффузионного взаимодействия в неоднородной области многокомпонентных металлических сплавов // Изв. АН СССР. Сер. Металлы. — 1990. — № 6. — С. 168-175.
48. Мейрманов А.М. Задача Стефана. — Новосибирск: Наука, 1986. -240 с.
49. Панин В.Е. Синергетические принципы физической мезомеха-ники // Физ. мезомех. — 2000. — Т. 3. — № 6. — С. 5-36.
50. Князева А.Г. Введение в локально-равновесную термодинамику физико-химических превращений в деформируемых средах. -Томск: Изд-во Том. ун-та, 1996. — 148 с.
Творчество поэта, диалектика философа, искусство исследователя –вот материалы, из которых слагается великий учёный.
Климент Аркадьевич Тимирязев
Климент Аркадьевич Тимирязев (03.06.1843–28.04.1920) – русский естествоиспытатель, физиолог – основоположник русскойи британской научных школ физиологов растений, историк науки.
